[2] (2.0 pontos) Consídere ainda M_{2}(\mathbb{R}) com o produto interno
\langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{T} A\right) .
Calcule \langle A, B\rangle, em que
\begin{aligned} & A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 3 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right) \\\ & B=\left(\begin{array}{ll} 0 & 2 \\\\ 3 & 3 \end{array}\right) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto interno em M_{2}(\mathbb{R}) definido por
\langle A,B\rangle = \tr\bigl(B^{T}A\bigr).
Logo, só precisamos achar B^{T}, multiplicar por A e tirar a traça do resultado.

Passo 2

Calculemos primeiro o transposto de
B = \begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 3 & 3\end{pmatrix},
que é
B^{T} = \begin{pmatrix}0 & 3 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix}.
Agora multiplicamos B^{T} por
A = \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 0 & 2\end{pmatrix}:
B^{T}A = \begin{pmatrix} 0\cdot1 + 3\cdot0 & 0\cdot3 + 3\cdot2 \\[6pt] 2\cdot1 + 3\cdot0 & 2\cdot3 + 3\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 6 \\\\ 2 & 12\end{pmatrix}.]

Passo 3

A traça de B^{T}A é a soma dos elementos da diagonal:
\tr\bigl(B^{T}A\bigr) = 0 + 12 = 12.
Logo,
\langle A, B\rangle = 12.

Resposta

12

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