(2 pontos) Dados os pontos A=(1,1,1), B=(1,3,2) e C=(1,1,6).
(a) Calcule as coordenadas do vetor \vec{W}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}.
(b) Determine o ângulo entre \overrightarrow{A B} e \vec{w}.
(c) Encontre um vetor \vec{u} ortogonal a \vec{w}.
(d) Calcule o módulo da projeção ortogonal de \tilde{w} sobre \overrightarrow{A B}.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(1,1,1), B=(1,3,2) e C=(1,1,6) e pede operações com vetores em \mathbb{R}^3: soma, produto escalar, norma, ângulo entre vetores, ortogonalidade e projeção.

Passo 2

Calculamos primeiro
\overrightarrow{AB}=B-A=(1-1,\,3-1,\,2-1)=(0,2,1),
\overrightarrow{BC}=C-B=(1-1,\,1-3,\,6-2)=(0,-2,4).
Então
\vec W=\overrightarrow{AB}+\tfrac12\,\overrightarrow{BC} =(0,2,1)+\tfrac12\,(0,-2,4)=(0,2,1)+(0,-1,2)=(0,1,3).

Passo 3

Para o ângulo \theta entre \overrightarrow{AB} e \vec W usamos
\cos\theta=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\vec W}{\|\overrightarrow{AB}\|\;\|\vec W\|}.
Calculamos
\overrightarrow{AB}\cdot\vec W=0\cdot0+2\cdot1+1\cdot3=5, \quad \|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{0^2+2^2+1^2}=\sqrt5, \quad \|\vec W\|=\sqrt{0^2+1^2+3^2}=\sqrt{10}.
Logo
\cos\theta=\frac{5}{\sqrt5\;\sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{5}{5\sqrt2}=\frac1{\sqrt2} \;\implies\; \theta=45^\circ.

Passo 4

Um vetor \vec u=(x,y,z) ortogonal a \vec W=(0,1,3) deve satisfazer
\vec W\cdot\vec u=0\cdot x+1\cdot y+3\cdot z=0 \;\implies\;y+3z=0.
Basta escolher, por exemplo, z=1, y=-3 e x=1, obtendo
\vec u=(1,-3,1),
que de fato satisfaz \vec W\cdot\vec u=0.

Passo 5

O módulo da projeção de \vec W sobre \overrightarrow{AB} é
\bigl\|\mathrm{proj}_{\overrightarrow{AB}}\vec W\bigr\| =\frac{\bigl|\overrightarrow{AB}\cdot\vec W\bigr|}{\|\overrightarrow{AB}\|} =\frac{|5|}{\sqrt5} =\sqrt5.

Resposta

(a) \vec W=(0,1,3).
(b) \theta=45^\circ.
(c) Um exemplo é \vec u=(1,-3,1).
(d) \bigl\|\mathrm{proj}_{\overrightarrow{AB}}\vec W\bigr\|=\sqrt5.

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