(1 ponto) Determine os valores de x para os quais os vetores \vec{u}=(1,1,1), \vec{v}=(-2 x, 4, x) e \vec{w}= (1,-x, 0) são coplanares.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u} = (1,1,1), \vec{v} = (-2x,4,x) e \vec{w} = (1,-x,0) e pede os valores de x para os quais eles são coplanares.
Em \mathbb{R}^3, três vetores são coplanares se, e só se, o seu produto misto é zero, ou seja
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) \;=\; 0.

Passo 2

Escrevemos o produto misto como determinante da matriz cujas colunas são \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
\det \begin{pmatrix} 1 & -2x & 1\\\\ 1 & 4 & -x\\\\ 1 & x & 0 \end{pmatrix} \;=\;0.

Passo 3

Para calcular essa determinante, usamos expansão pela primeira linha:
\det = 1\cdot\bigl(4\cdot0 - (-x)\cdot x\bigr) \;-\;(-2x)\cdot\bigl(1\cdot0 - (-x)\cdot1\bigr) \;+\;1\cdot\bigl(1\cdot x - 4\cdot1\bigr).
Cada termo fica
1\cdot(x^2) \;=\; x^2,\quad -(-2x)\cdot(x) \;=\; 2x^2,\quad 1\cdot(x-4)\;=\;x-4,
logo
\det = x^2 + 2x^2 + (x-4) = 3x^2 + x - 4.
A condição de coplanaridade é
3x^2 + x - 4 = 0.

Passo 4

Resolvendo a quadrática 3x^2 + x -4 = 0 pela fórmula de Bhaskara:
\Delta = 1^2 - 4\cdot3\cdot(-4) = 1 + 48 = 49,
x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2\cdot3} = \frac{-1 \pm 7}{6}.
Isso dá
x = \frac{-1 + 7}{6} = 1 \quad\text{ou}\quad x = \frac{-1 - 7}{6} = -\tfrac{4}{3}.

Resposta

x = 1 ou x = -\tfrac{4}{3}.

Exercícios relacionados