[1,5 pt.] 3) Calcule a integral
\int_{C} x \sqrt{2 z-z^{2}} d s
onde C: \vec{r}(t)=(\cos t, 2 \operatorname{sen} t, 1-\cos t),|t| \leq \frac{\pi}{4}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral de linha
\int_{C} x \sqrt{2 z-z^{2}}\, d s
onde a curva C é dada pela parametrização
\vec{r}(t)=(\cos t,\;2\operatorname{sen} t,\;1-\cos t),\qquad |t|\le \frac{\pi}{4}.
Informações relevantes fornecidas:
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=2\operatorname{sen} t,\qquad z(t)=1-\cos t.
A integral é do tipo escalar com respectivo elemento de comprimento de arco d s=|\vec{r}\,'(t)|\,dt. A variável de integração será t variando de -\frac{\pi}{4} até \frac{\pi}{4}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: expressar o integrando e d s em função de t.
Calculo \vec{r}\,'(t):
\vec{r}\,'(t)=(-\operatorname{sen} t,\;2\cos t,\;\operatorname{sen} t).
Agora o módulo |\vec{r}\,'(t)|. Faço a soma dos quadrados das componentes:
|\vec{r}\,'(t)|^2 = (-\operatorname{sen} t)^2 + (2\cos t)^2 + (\operatorname{sen} t)^2.
Isso dá
|\vec{r}\,'(t)|^2 = \operatorname{sen}^2 t + 4\cos^2 t + \operatorname{sen}^2 t = 2\operatorname{sen}^2 t + 4\cos^2 t.
Uso \operatorname{sen}^2 t = 1-\cos^2 t para simplificar:
|\vec{r}\,'(t)|^2 = 2(1-\cos^2 t) + 4\cos^2 t = 2 + 2\cos^2 t = 2(1+\cos^2 t).
Portanto
|\vec{r}\,'(t)|=\sqrt{2(1+\cos^2 t)}=\sqrt{2}\,\sqrt{1+\cos^2 t}.
Logo o elemento de comprimento é
d s = |\vec{r}\,'(t)|\,dt = \sqrt{2}\,\sqrt{1+\cos^2 t}\,dt.

Passo 3

Agora expresso o integrando x\sqrt{2z-z^2} em termos de t. Lembro que x=\cos t e z=1-\cos t. Então avalio a expressão dentro da raiz:
2z-z^2 = 2(1-\cos t) - (1-\cos t)^2.
Faço as contas passo a passo:
2(1-\cos t) - (1-\cos t)^2 = 2 - 2\cos t - (1 - 2\cos t + \cos^2 t).
= 2 - 2\cos t -1 +2\cos t - \cos^2 t = 1 - \cos^2 t.
Portanto
\sqrt{2z-z^2} = \sqrt{1-\cos^2 t} = \sqrt{\operatorname{sen}^2 t}=|\operatorname{sen} t|.
Assim o integrando fica
x\sqrt{2z-z^2} = \cos t \cdot |\operatorname{sen} t|.

Passo 4

Reescrevo a integral original em t:
\int_{C} x\sqrt{2z-z^2}\, ds = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos t\;|\operatorname{sen} t|\;\sqrt{2}\,\sqrt{1+\cos^2 t}\; dt.
Ou seja
I=\sqrt{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos t\;|\operatorname{sen} t|\;\sqrt{1+\cos^2 t}\; dt.
Observação sobre o valor absoluto: no intervalo -\frac{\pi}{4}\le t\le\frac{\pi}{4} a função \cos t é sempre positiva e a função \sqrt{1+\cos^2 t} é par (mesmo), mas |\operatorname{sen} t| é par também. Portanto o integrando total \cos t\;|\operatorname{sen} t|\;\sqrt{1+\cos^2 t} é uma função par. Quando uma função é par, a integral de -a a a é duas vezes a integral de 0 a a. Além disso, para t\in[0,\pi/4] temos |\operatorname{sen} t|=\operatorname{sen} t. Assim simplifico:
I = 2\sqrt{2}\int_{0}^{\pi/4} \cos t\;\operatorname{sen} t\;\sqrt{1+\cos^2 t}\; dt.

Passo 5

Faço uma substituição adequada para aproveitar o fator \cos t\operatorname{sen} t\,dt. Defino a variável
u = 1+\cos^2 t.
Agora calculo du. Como \cos^2 t’ = -2\cos t\operatorname{sen} t, temos
du = -2\cos t\operatorname{sen} t\; dt \quad\Rightarrow\quad \cos t\operatorname{sen} t\; dt = -\frac{1}{2}\,du.
Troco os limites: quando t=0 então \cos 0=1 e u(0)=1+1=2. Quando t=\pi/4 então \cos(\pi/4)=\frac{\sqrt{2}}{2} e \cos^2(\pi/4)=\tfrac12, logo u(\pi/4)=1+\tfrac12=\tfrac32.
Substituindo na integral:
I = 2\sqrt{2}\int_{t=0}^{t=\pi/4} \cos t\operatorname{sen} t\;\sqrt{u}\; dt = 2\sqrt{2}\int_{u=2}^{u=3/2} \sqrt{u}\left(-\frac{1}{2}\right) du.
Isto é
I = -\sqrt{2}\int_{2}^{3/2} \sqrt{u}\; du.
Inverto os limites para eliminar o sinal negativo:
I = \sqrt{2}\int_{3/2}^{2} \sqrt{u}\; du.

Passo 6

Integro \sqrt{u}=u^{1/2}. A primitiva é
\int u^{1/2} du = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Logo
I = \sqrt{2}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{u=3/2}^{u=2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\left(2^{3/2} - \left(\tfrac{3}{2}\right)^{3/2}\right).
Agora simplifico cada termo cuidadosamente. Primeiro
2^{3/2} = 2\sqrt{2}.
Multiplicando:
\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 2^{3/2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 2\sqrt{2} = \frac{4\cdot 2}{3} = \frac{8}{3},
pois \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2.
Para o segundo termo, escrevo \left(\tfrac{3}{2}\right)^{3/2}=\dfrac{3^{3/2}}{2^{3/2}}=\dfrac{3^{3/2}}{2\sqrt{2}}. Então
\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \left(\tfrac{3}{2}\right)^{3/2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{3^{3/2}}{2\sqrt{2}} = \frac{3^{3/2}}{3} = 3^{1/2} = \sqrt{3}.
Portanto
I = \frac{8}{3} - \sqrt{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}-\sqrt{3}

Exercícios relacionados