[1,5 pt.] 3) Calcule a integral
onde
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral de linha
onde a curva
é dada pela parametrização
Informações relevantes fornecidas:
A integral é do tipo escalar com respectivo elemento de comprimento de arco
. A variável de integração será
variando de
até
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: expressar o integrando e
em função de
.
Calculo
:
Agora o módulo
. Faço a soma dos quadrados das componentes:
Isso dá
Uso
para simplificar:
Portanto
Logo o elemento de comprimento é
Passo 3
Agora expresso o integrando
em termos de
. Lembro que
e
. Então avalio a expressão dentro da raiz:
Faço as contas passo a passo:
Portanto
Assim o integrando fica
Passo 4
Reescrevo a integral original em
:
Ou seja
Observação sobre o valor absoluto: no intervalo
a função
é sempre positiva e a função
é par (mesmo), mas
é par também. Portanto o integrando total
é uma função par. Quando uma função é par, a integral de
a
é duas vezes a integral de
a
. Além disso, para
temos
. Assim simplifico:
Passo 5
Faço uma substituição adequada para aproveitar o fator
. Defino a variável
Agora calculo
. Como
’ =
, temos
Troco os limites: quando
então
e
. Quando
então
e
, logo
.
Substituindo na integral:
Isto é
Inverto os limites para eliminar o sinal negativo:
Passo 6
Integro
. A primitiva é
Logo
Agora simplifico cada termo cuidadosamente. Primeiro
Multiplicando:
pois
.
Para o segundo termo, escrevo
. Então
Portanto