Uma empresa produz e vende três tipos de canetas: com uma carga, com duas cargas e com quatro cargas. Os custos fixos mensais da empresa são de R \ 6.000$.
Em 31/12/XO, os dados sobre cada caneta eram os seguintes:
Uma carga Duas cargas Quatro cargas
Preço unit 10 20 30
Custo variável unit. 5 8 14
Demanda mensal 500 400 300
Em janeiro de XO houve um problema com o fornecimento de cargas para as canetas, de modo que a empresa só possuía 1.800 cargas para fabricar as canetas. Assinale a opção que indica o lucro bruto da empresa, em janeiro de X1, considerando que a empresa tinha como objetivo obter o maior resultado possível.
a) R \ 2.400$
b) R \ 3.300$
c) \mathrm{R} \ 8.400$
d) \mathrm{R} \ 9.300$
e) R \ 12.100$

Passo 1

O enunciado pede o lucro bruto da empresa em janeiro de X1, supondo que ela escolha a produção que maximize esse resultado, dado um limite de cargas.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\text{Custos fixos mensais} = R\$\,6.000
Tabela por tipo de caneta:
\begin{array}{lccc} & \text{Uma carga} & \text{Duas cargas} & \text{Quatro cargas} \\[4pt] \text{Preço unitário} & 10 & 20 & 30 \\\ \text{Custo variável unitário} & 5 & 8 & 14 \\\ \text{Demanda mensal (máx)} & 500 & 400 & 300 \\\ \end{array}çáááá
Disponibilidade de cargas em janeiro:
\text{Cargas disponíveis} = 1.800í
O que o enunciado pede: calcular o lucro bruto em janeiro, supondo que a empresa escolha a produção que maximize o resultado possível com apenas 1.800 cargas.]

Passo 2

Vamos aprender um conceito importante: margem de contribuição unitária. É a diferença entre o preço de venda e o custo variável unitário. Em símbolos:
\text{Margem de contribuição unitária} = \text{Preço unitário} - \text{Custo variável unitário}.çãáçááá
Ela representa o quanto cada unidade vendida contribui para cobrir custos fixos e gerar lucro. Como temos um recurso escasso (cargas), o critério útil é a margem de contribuição por unidade de recurso escasso (aqui, por carga). Ou seja:
\text{Margem por carga} = \frac{\text{Margem de contribuição unitária}}{\text{Número de cargas por unidade}}.çãáú
Calculemos a margem de contribuição unitária para cada caneta:
\begin{aligned} \text{Uma carga:}&\quad 10 - 5 = 5,\\\ \text{Duas cargas:}&\quad 20 - 8 = 12,\\\ \text{Quatro cargas:}&\quad 30 - 14 = 16. \end{aligned}
Agora a margem por carga (cada caneta usa 1, 2 e 4 cargas respectivamente):
\begin{aligned} \text{Uma carga:}&\quad \dfrac{5}{1}=5,\\[6pt] \text{Duas cargas:}&\quad \dfrac{12}{2}=6,\\[6pt] \text{Quatro cargas:}&\quad \dfrac{16}{4}=4. \end{aligned}
Interpretação: cada carga gasta na produção de uma caneta de duas cargas rende em média R\$\,6 de contribuição, na de uma carga rende R\$\,5, e na de quatro cargas rende R\$\,4. Para maximizar o lucro com recurso escasso, produzo primeiro o que dá maior margem por carga.]

Passo 3

Ordenando pelos valores de margem por carga (do maior para o menor):
\text{Duas cargas (6)} > \text{Uma carga (5)} > \text{Quatro cargas (4)}.
Logo a estratégia ótima é:
  1. Satisfazer toda a demanda de canetas de duas cargas até o máximo de demanda ou até acabar as cargas.
  2. Com o que sobrar de cargas, produzir canetas de uma carga até a demanda.
  3. Se ainda houver cargas, produzir canetas de quatro cargas.
Agora aplicamos isso aos números: vamos consumir cargas seguindo essa ordem, respeitando a demanda máxima de cada tipo.

Passo 4

Consumo de cargas e produção por etapa:
  1. Produzir todas as canetas de duas cargas (demanda máxima 400 unidades). Cargas necessárias:
400\\ \text{unidades} \times 2\\ \text{cargas/unidade} = 800\\ \text{cargas}.
Cargas restantes:
1.800 - 800 = 1.000.
  1. Produzir todas as canetas de uma carga (demanda máxima 500 unidades). Cargas necessárias:
500 \times 1 = 500\\ \text{cargas}.
Cargas restantes:
1.000 - 500 = 500.
  1. Com 500 cargas restantes, produzir canetas de quatro cargas. Cada unidade usa 4 cargas, então número possível de unidades:
\left\lfloor \dfrac{500}{4}\right\rfloor = 125\\ \text{unidades}.
(Em problemas práticos não produzimos frações de unidade, por isso usamos o piso.) Cargas usadas:
125 \times 4 = 500\\ \text{cargas}.
Cargas restantes:
500 - 500 = 0.
Portanto a produção ótima é:
\begin{aligned} \text{Duas cargas:}&\quad 400\\ \text{unidades} \\\ \text{Uma carga:}&\quad 500\\ \text{unidades} \\\ \text{Quatro cargas:}&\quad 125\\ \text{unidades} \end{aligned}

Passo 5

Calculemos a contribuição total (que é receita menos custos variáveis) — isto é o lucro bruto na acepção contábil usada aqui.
Contribuição por tipo = (margem de contribuição unitária) × (unidades produzidas).
\begin{aligned} \text{Duas cargas:}&\quad 12 \times 400 = 4.800,\\[4pt] \text{Uma carga:}&\quad 5 \times 500 = 2.500,\\[4pt] \text{Quatro cargas:}&\quad 16 \times 125 = 2.000. \end{aligned}
Somando:
4.800 + 2.500 + 2.000 = 9.300.
Explicação final sobre termos: a soma acima é a receita total menos os custos variáveis totais — isto é exatamente o que se chama de “lucro bruto” ou margem de contribuição total. Se quiséssemos o lucro líquido operacional (após cobrir os custos fixos), subtrairíamos os custos fixos de R\$\,6.000 e obteríamos R\$\,3.300, mas como a pergunta pede especificamente o lucro bruto, a resposta é R\$\,9.300.]

Resposta

d) R\$ 9.300

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