[1,5 pt.] 2) Seja
função vetorial de
. Se
, use as propriedades da derivada e da álgebra vetorial para mostrar que
Passo 1
O enunciado dá uma função vetorial
e define a função escalar
Pede-se mostrar que
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar: as derivações
existem e aparecem na expressão; a expressão inicial é um produto escalar entre
e um produto vetorial
.
Passo 2
Apresento as regras e propriedades que vamos usar (explico cada uma):
- Regra da derivada do produto escalar: para vetores
e ,
Aqui
é a derivada de
em relação a
, etc. Essa regra é análoga à regra do produto em escalares, aplicando-se componente a componente.
2) Regra da derivada do produto vetorial: para vetores e
,
2) Regra da derivada do produto vetorial: para vetores
Novamente é a versão vetorial da regra do produto.
3) Propriedades úteis da álgebra vetorial:
3) Propriedades úteis da álgebra vetorial:
-
para qualquer vetor (produto vetorial de um vetor por si mesmo é o vetor nulo). - O produto escalar entre um vetor e o produto vetorial de dois vetores é o produto escalar triplo (ou escalar misto). Ele satisfaz a propriedade cíclica:
Uma consequência imediata é que, se dois vetores são iguais, por exemplo
, então
, porque
é perpendicular a
.
Passo 3
Agora aplico a regra da derivada do produto escalar à função
. Usando a regra do Passo 2(1),
Em seguida aplico a regra da derivada do produto vetorial ao segundo termo.
Passo 4
Derivo o produto vetorial
usando a regra do Passo 2(2):
Mas
(produto vetorial de um vetor por si mesmo). Substituindo na expressão de
do passo anterior:
Passo 5
Examinamos os dois termos: o primeiro termo é
Como explicado no Passo 2(3), quando o primeiro e o segundo vetor do produto escalar triplo são iguais, o valor é zero, porque
é perpendicular a
. Logo o primeiro termo é
. Assim permanece apenas
Passo 6
Para obter a forma desejada, uso a propriedade cíclica do produto escalar triplo (Passo 2(3)). Aplicando a permutação cíclica
com
,
,
, tenho
Portanto
que é exatamente o que o enunciado pedia. Força aí — a ideia central é aplicar as regras de derivação e usar que produtos vetoriais com vetores iguais são nulos, mais a propriedade cíclica do produto escalar triplo.