[1,5 pt.] 2) Seja \vec{r}=\vec{r}(t) função vetorial de t. Se u(t)=\vec{r} \cdot\left(\vec{r}^{\prime} \times \vec{r}^{\prime \prime}\right), use as propriedades da derivada e da álgebra vetorial para mostrar que
u^{\prime}(t)=\vec{r}^{\prime \prime \prime} \cdot\left(\vec{r} \times \vec{r}^{\prime}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma função vetorial \vec{r}=\vec{r}(t) e define a função escalar
u(t)=\vec{r}\cdot\big(\vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime}\big).
Pede-se mostrar que
u^{\prime}(t)=\vec{r}^{\prime\prime\prime}\cdot\big(\vec{r}\times\vec{r}^{\prime}\big).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar: as derivações \vec{r}^{\prime},\vec{r}^{\prime\prime},\vec{r}^{\prime\prime\prime} existem e aparecem na expressão; a expressão inicial é um produto escalar entre \vec{r} e um produto vetorial \vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime}.

Passo 2

Apresento as regras e propriedades que vamos usar (explico cada uma):
  1. Regra da derivada do produto escalar: para vetores \vec{a}(t) e \vec{b}(t),
\big(\vec{a}\cdot\vec{b}\big)^{\prime}=\vec{a}^{\prime}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{b}^{\prime}.
Aqui \vec{a}^{\prime} é a derivada de \vec{a} em relação a t, etc. Essa regra é análoga à regra do produto em escalares, aplicando-se componente a componente.
2) Regra da derivada do produto vetorial: para vetores \vec{a}(t) e \vec{b}(t),
\big(\vec{a}\times\vec{b}\big)^{\prime}=\vec{a}^{\prime}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{b}^{\prime}.
Novamente é a versão vetorial da regra do produto.
3) Propriedades úteis da álgebra vetorial:
  • \vec{v}\times\vec{v}=\vec{0} para qualquer vetor \vec{v} (produto vetorial de um vetor por si mesmo é o vetor nulo).
  • O produto escalar entre um vetor e o produto vetorial de dois vetores é o produto escalar triplo (ou escalar misto). Ele satisfaz a propriedade cíclica:
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a})=\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b}).
Uma consequência imediata é que, se dois vetores são iguais, por exemplo \vec{a}=\vec{b}, então \vec{a}\cdot(\vec{a}\times\vec{c})=0, porque \vec{a}\times\vec{c} é perpendicular a \vec{a}.

Passo 3

Agora aplico a regra da derivada do produto escalar à função u(t)=\vec{r}\cdot(\vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime}). Usando a regra do Passo 2(1),
u^{\prime}=\vec{r}^{\prime}\cdot\big(\vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime}\big) +\vec{r}\cdot\frac{d}{dt}\big(\vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime}\big).
Em seguida aplico a regra da derivada do produto vetorial ao segundo termo.

Passo 4

Derivo o produto vetorial \vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime} usando a regra do Passo 2(2):
\frac{d}{dt}\big(\vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime}\big) =\vec{r}^{\prime\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime}+\vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime\prime}.
Mas \vec{r}^{\prime\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime}=\vec{0} (produto vetorial de um vetor por si mesmo). Substituindo na expressão de u^{\prime} do passo anterior:
u^{\prime}=\vec{r}^{\prime}\cdot\big(\vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime}\big) +\vec{r}\cdot\big(\vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime\prime}\big).

Passo 5

Examinamos os dois termos: o primeiro termo é
\vec{r}^{\prime}\cdot\big(\vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime}\big).
Como explicado no Passo 2(3), quando o primeiro e o segundo vetor do produto escalar triplo são iguais, o valor é zero, porque \vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime} é perpendicular a \vec{r}^{\prime}. Logo o primeiro termo é 0. Assim permanece apenas
u^{\prime}=\vec{r}\cdot\big(\vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime\prime}\big).

Passo 6

Para obter a forma desejada, uso a propriedade cíclica do produto escalar triplo (Passo 2(3)). Aplicando a permutação cíclica \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b}) com \vec{a}=\vec{r}, \vec{b}=\vec{r}^{\prime}, \vec{c}=\vec{r}^{\prime\prime\prime}, tenho
\vec{r}\cdot\big(\vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime\prime}\big) =\vec{r}^{\prime\prime\prime}\cdot\big(\vec{r}\times\vec{r}^{\prime}\big).
Portanto
u^{\prime}(t)=\vec{r}^{\prime\prime\prime}\cdot\big(\vec{r}\times\vec{r}^{\prime}\big),
que é exatamente o que o enunciado pedia. Força aí — a ideia central é aplicar as regras de derivação e usar que produtos vetoriais com vetores iguais são nulos, mais a propriedade cíclica do produto escalar triplo.

Resposta

u^{\prime}(t)=\vec{r}^{\prime\prime\prime}\cdot\big(\vec{r}\times\vec{r}^{\prime}\big)

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