[1,5 pt.] 1) Inverta a ordem para calcular a integral
\int_{-1}^{0} \int_{\sqrt{-y}}^{1} e^{\frac{y}{x}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
\int_{-1}^{0}\int_{\sqrt{-y}}^{1}e^{\frac{y}{x}}\,dx\,dy.
O conteúdo aqui é descrição da região de integração no plano (x,y) e aplicação do Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos a região D dada por
-1 \le y \le 0, \quad \sqrt{-y} \le x \le 1.
A condição x \ge \sqrt{-y} equivale a
x^{2} \ge -y \quad\Longleftrightarrow\quad y \ge -\,x^{2}.

Passo 3

Juntando com -1\le y\le 0, obtemos
-\,x^{2} \le y \le 0.
Para que haja ponto válido, precisamos também de \sqrt{-y}\le1, mas isso já está contido em 0\le x\le1. Logo, os limites em x são de 0 a 1.

Passo 4

Trocando a ordem, primeiro integramos em y de -x^{2} a 0 e depois em x de 0 a 1. Assim a integral fica
\int_{0}^{1}\int_{-x^{2}}^{0}e^{\frac{y}{x}}\,dy\,dx.

Resposta

\int_{-1}^{0}\int_{\sqrt{-y}}^{1}e^{\frac{y}{x}}\,dx\,dy \;=\; \int_{0}^{1}\int_{-x^{2}}^{0}e^{\frac{y}{x}}\,dy\,dx.

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