[2,0 pts.] 5) Calcule o volume da parte da região limitada pela superfície \rho(\varphi)=2 \operatorname{sen} \varphi, externa à r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=1.
2 \cos ^{2} a=1+\cos (2 a) \quad 2 \operatorname{sen}^{2} a=1-\cos (2 a) \quad \operatorname{sen}(2 a)=2 \operatorname{sen} a \cos a

Passo 1

O enunciado pede o volume da parte da região delimitada pela superfície em coordenadas esféricas
\rho(\varphi)=2\sin\varphi
que esteja externa ao cilindro r=\sqrt{x^2+y^2}=1.
Aqui vamos usar coordenadas esféricas com
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi
e o elemento de volume
dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas esféricas o cilindro r=1 é
\rho\sin\varphi=1\quad\Longrightarrow\quad \rho=\frac1{\sin\varphi}.
A interseção entre a superfície \rho=2\sin\varphi e o cilindro ocorre quando
2\sin\varphi=\frac1{\sin\varphi} \quad\Longrightarrow\quad 2\sin^2\varphi=1 \quad\Longrightarrow\quad \sin^2\varphi=\tfrac12
que dá os ângulos \phi_1=\tfrac\pi4 e \phi_2=\tfrac{3\pi}4.
Para \varphi\in[\tfrac\pi4,\tfrac{3\pi}4] temos
2\sin\varphi\ge\frac1{\sin\varphi},
ou seja, nesse intervalo a região externa ao cilindro vai de \rho=\tfrac1{\sin\varphi} até \rho=2\sin\varphi.

Passo 3

O volume procurado é
V =\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\varphi=\frac\pi4}^{\frac{3\pi}4} \int_{\rho=\frac1{\sin\varphi}}^{2\sin\varphi} \rho^2\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Como não há dependência em \theta, integremos primeiro em \rho:
\int_{\rho=\frac1{\sin\varphi}}^{2\sin\varphi}\rho^2\,d\rho =\frac13\Bigl[(2\sin\varphi)^3-\bigl(\tfrac1{\sin\varphi}\bigr)^3\Bigr] =\frac13\bigl[8\sin^3\varphi-\sin^{-3}\! \varphi\bigr].

Passo 4

Substituindo na integral completa:
V =2\pi \int_{\varphi=\frac\pi4}^{\frac{3\pi}4} \frac13\bigl[8\sin^3\varphi-\sin^{-3}\varphi\bigr]\sin\varphi \,d\varphi =\frac{2\pi}{3} \int_{\frac\pi4}^{\frac{3\pi}4} \bigl[8\sin^4\varphi-\sin^{-2}\varphi\bigr] \,d\varphi.

Passo 5

Dividimos a integral em duas partes:
I_1=\int\sin^4\varphi\,d\varphi, \quad I_2=\int\sin^{-2}\varphi\,d\varphi.
Usamos identi­dades trigonométricas para I_1:
\sin^4\varphi =\Bigl(\tfrac{1-\cos2\varphi}2\Bigr)^2 =\tfrac14\bigl(1-2\cos2\varphi+\cos^2 2\varphi\bigr),
cuja primitiva é
I_1 =\frac{3}{8}\,\varphi -\frac14\sin2\varphi +\frac1{32}\sin4\varphi.
Para I_2 usamos
\int\csc^2\varphi\,d\varphi =-\cot\varphi.

Passo 6

Montamos a antiderivada da combinação:
A(\varphi) =8\,I_1(\varphi)-I_2(\varphi) =3\varphi-2\sin2\varphi+\frac14\sin4\varphi+\cot\varphi.
Então
V =\frac{2\pi}{3}\bigl[A\bigl(\tfrac{3\pi}4\bigr) -A\bigl(\tfrac\pi4\bigr)\bigr].
Calculando em \varphi=\tfrac{3\pi}4:
A\bigl(\tfrac{3\pi}4\bigr) =3\cdot\tfrac{3\pi}4-2\sin\tfrac{3\pi}2 +\tfrac14\sin3\pi+\cot\tfrac{3\pi}4 =\tfrac{9\pi}4+2+0-1 =\tfrac{9\pi}4+1.
Em \varphi=\tfrac{\pi}4:
A\bigl(\tfrac{\pi}4\bigr) =3\cdot\tfrac{\pi}4-2\sin\tfrac{\pi}2 +\tfrac14\sin\pi+\cot\tfrac{\pi}4 =\tfrac{3\pi}4-2+0+1 =\tfrac{3\pi}4-1.
A diferença é
A\bigl(\tfrac{3\pi}4\bigr)-A\bigl(\tfrac\pi4\bigr) =\Bigl(\tfrac{9\pi}4+1\Bigr)-\Bigl(\tfrac{3\pi}4-1\Bigr) =\tfrac{6\pi}4+2 =\tfrac{3\pi}2+2.

Passo 7

Finalmente,
V =\frac{2\pi}{3}\Bigl(\tfrac{3\pi}2+2\Bigr) =\pi^2+\frac{4\pi}{3}.

Resposta

V=\pi^2+\frac{4\pi}{3}.

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