[2,0 pts.] 5) Calcule o volume da parte da região limitada pela superfície
, externa à
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da parte da região delimitada pela superfície em coordenadas esféricas
que esteja externa ao cilindro
.
Aqui vamos usar coordenadas esféricas com
Aqui vamos usar coordenadas esféricas com
e o elemento de volume
Passo 2
Em coordenadas esféricas o cilindro
é
A interseção entre a superfície
e o cilindro ocorre quando
que dá os ângulos
e
.
Para temos
Para
ou seja, nesse intervalo a região externa ao cilindro vai de
até
.
Passo 3
O volume procurado é
Como não há dependência em
, integremos primeiro em
:
Passo 4
Substituindo na integral completa:
Passo 5
Dividimos a integral em duas partes:
Usamos identidades trigonométricas para
:
cuja primitiva é
Para
usamos
Passo 6
Montamos a antiderivada da combinação:
Então
Calculando em
:
Em
:
A diferença é
Passo 7
Finalmente,