De 1 a 5, parametrize a curva dada por sua equação cartesiana.
2 x+3 z=6 ; y=2

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da curva obtida pela interseção dos planos
2x + 3z = 6
e
y = 2.
Como a interseção de dois planos não paralelos em \mathbb{R}^3 é uma reta, vamos achar uma parametrização dessa reta.

Passo 2

Para parametrizar a reta, precisamos de um ponto sobre ela e de um vetor diretor.
  1. Escolhemos um ponto fazendo x=0 na equação 2x+3z=6, de modo que 3z=6 leva a z=2. Como y=2, um ponto na reta é
P = (0,\,2,\,2).
  1. O vetor diretor \mathbf{v}=(\Delta x,\Delta y,\Delta z) deve satisfazer 2\,\Delta x + 3\,\Delta z =0 e \Delta y=0. Por exemplo, escolhendo \Delta x=3 obtemos 2\cdot3+3\,\Delta z=0\implies \Delta z=-2. Logo
\mathbf{v} = (3,\,0,\,-2).

Passo 3

A parametrização “canônica” fica
\mathbf{r}(t) = P + t\,\mathbf{v} = (0,2,2) + t\,(3,0,-2) = \bigl(3t,\;2,\;2-2t\bigr).
Essa já é uma resposta válida, mas podemos escrever a mesma reta de várias outras maneiras, mudando a forma de escolher o parâmetro.

Passo 4

Bastam diferentes escolhas de qual coordenada usar como parâmetro ou deslocar e escalar o parâmetro para obter parametrizações distintas. A cada escolha de função invertível de t obtemos uma nova parametrização da mesma reta.

Resposta

  1. x = t,\;y = 2,\;z = \displaystyle\frac{6 - 2t}{3}.
  2. x = \displaystyle\frac{6 - 3t}{2},\;y = 2,\;z = t.
  3. x = 3t,\;y = 2,\;z = 2 - 2t.
  4. x = 3 + 3t,\;y = 2,\;z = -2t.
  5. x = 3 - 3t,\;y = 2,\;z = 2t.

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