( \mathbf{1}, \mathbf{0} ponto) Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 5}\left(\frac{x^{3}-125}{x-5}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 5}\frac{x^{3}-125}{x-5}.
Este é um limite de uma função racional em que, ao substituir x=5 diretamente, obtemos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar a fatoração de diferença de cubos.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de fatoração de diferença de cubos:
x^{3}-125 = x^{3}-5^{3} = (x-5)\bigl(x^{2}+5x+25\bigr).
Então a expressão fica
\frac{x^{3}-125}{x-5} = \frac{(x-5)\bigl(x^{2}+5x+25\bigr)}{x-5}.
Como x\neq5 na vizinhança de 5, podemos cancelar x-5:
\frac{x^{3}-125}{x-5} = x^{2}+5x+25.

Passo 3

Agora a função x^{2}+5x+25 é contínua em x=5, então o limite é simplesmente o valor nesse ponto:
\lim_{x\to5}\bigl(x^{2}+5x+25\bigr) = 5^{2} + 5\cdot5 + 25 = 25 + 25 + 25 = 75.

Resposta

75

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