( \mathbf{1}, \mathbf{0} ponto) Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-3 x^{2}+x-1}{x^{5}-2 x^{3}+2};

Passo 1

O enunciado pede \lim_{x\to1}\frac{x^{3}-3x^{2}+x-1}{x^{5}-2x^{3}+2}. Trata-se de uma função racional (quociente de polinômios). Pelo teorema de limite de quociente, se o limite do denominador em x=1 não for zero, podemos aplicar substituição direta.

Passo 2

Calcular o limite do numerador em x=1:
\lim_{x\to1}(x^{3}-3x^{2}+x-1) =1^{3}-3\cdot1^{2}+1-1 =1-3+1-1 =-2.

Passo 3

Calcular o limite do denominador em x=1:
\lim_{x\to1}(x^{5}-2x^{3}+2) =1^{5}-2\cdot1^{3}+2 =1-2+2 =1,
que é diferente de zero.

Passo 4

Como o denominador não anula, o limite do quociente é o quociente dos limites:
\lim_{x\to1}\frac{x^{3}-3x^{2}+x-1}{x^{5}-2x^{3}+2} =\frac{-2}{1} =-2.

Resposta

-2

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