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Mostre que
possui uma solução negativa.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação $$
\frac{x^{5}+2}{x+1}=10
$$
\frac{x^{5}+2}{x+1}=10
$$
possui pelo menos uma solução negativa. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função é contínua num intervalo e assume valores de sinais opostos nas extremidades, então ela tem raiz nesse intervalo.
Passo 2
Definimos a função
$$
f(x)=\frac{x^{5}+2}{x+1}-10
$$
f(x)=\frac{x^{5}+2}{x+1}-10
$$
que é contínua em todo ponto onde x≠−1, pois é quociente de funções polinomiais com denominador não nulo. Vamos buscar um intervalo contido em (−1,0) onde f assuma sinais opostos.
Passo 3
Escolhemos dois pontos em (−1,0):
Para x=−0{,}9 temos
Para x=−0{,}9 temos
$$
f(-0.9)=\frac{(-0.9)^{5}+2}{-0.9+1}-10=\frac{-0.59049+2}{0.1}-10=\frac{1.40951}{0.1}-10=14.0951-10=4.0951>0
$$
f(-0.9)=\frac{(-0.9)^{5}+2}{-0.9+1}-10=\frac{-0.59049+2}{0.1}-10=\frac{1.40951}{0.1}-10=14.0951-10=4.0951>0
$$
Para x=−0{,}5 temos
$$
f(-0.5)=\frac{(-0.5)^{5}+2}{-0.5+1}-10=\frac{-0.03125+2}{0.5}-10=\frac{1.96875}{0.5}-10=3.9375-10=-6.0625<0
$$
f(-0.5)=\frac{(-0.5)^{5}+2}{-0.5+1}-10=\frac{-0.03125+2}{0.5}-10=\frac{1.96875}{0.5}-10=3.9375-10=-6.0625<0
$$
Passo 4
Como f é contínua em (−1,0) e f(−0.9)>0>f(−0.5), pelo Teorema do Valor Intermediário existe c∈(−0.9,−0.5) tal que f©=0. Isso significa que
$$
\frac{c^{5}+2}{c+1}=10
$$
\frac{c^{5}+2}{c+1}=10
$$
e c é negativo.
Passo 5
Portanto, a equação
$$
\frac{x^{5}+2}{x+1}=10
$$
\frac{x^{5}+2}{x+1}=10
$$
possui pelo menos uma solução negativa.
Resposta
Existe uma solução negativa c ∈ (−0.9,−0.5) tal que (c^{5}+2)/(c+1)=10.