Um tanque de água possui o formato de uma pirâmide de base quadrada, com lado da base de 2 m e altura de 4 m . Se a água esta sendo bombeada para o tanque a uma taxa de 300 litros / min, encontre a taxa na o nível de água está aumentando quando a água estiver a uma profundidade de 2 m .

Passo 1

O enunciado descreve um tanque em forma de pirâmide de base quadrada de lado 2,m e altura total 4,m. A água está entrando a uma vazão de 300,L/min e queremos encontrar a taxa de variação da altura da água dhdt no instante em que a profundidade é 2,m. Esse problema usa taxas relacionadas e geometria de sólidos, em particular semelhança de triângulos para relacionar o volume de água V com a altura h.

Passo 2

Para expressar V em função de h, note que, por semelhança de triângulos, a aresta da base da parte cheia mede
ell = 24,h = h2
Como a base é quadrada, sua área vale
ell^2 = h^24,
e o volume de uma pirâmide de altura h é
V = 13(área da base);h = 13,h^24,h = 112,h^3 á

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t, obtemos
dVdt = ddtl(112h^3r) = 112cdot 3h^2,dhdt = h^24,dhdt

Passo 4

Primeiro convertemos a vazão para metros cúbicos por minuto:
300;L/min = 300times 10^-3;m^3/min = 0,3;m^3/min
No instante h=2,m, temos h^24=44=1. Substituindo em dVdt=h^24,dhdt, resulta
0,3 = 1cdot dhdt Longrightarrow dhdt = 0,3;m/min

Resposta

dhdt = 0,3;m/min quando a água está a 2,m de profundidade.

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