Um tanque de água possui o formato de uma pirâmide de base quadrada, com lado da base de 2 m e altura de 4 m . Se a água esta sendo bombeada para o tanque a uma taxa de
, encontre a taxa na o nível de água está aumentando quando a água estiver a uma profundidade de 2 m .
Passo 1
O enunciado descreve um tanque em forma de pirâmide de base quadrada de lado
,m e altura total
,m. A água está entrando a uma vazão de
,L/min e queremos encontrar a taxa de variação da altura da água
no instante em que a profundidade é
,m. Esse problema usa taxas relacionadas e geometria de sólidos, em particular semelhança de triângulos para relacionar o volume de água
com a altura
.
Passo 2
Para expressar
em função de
, note que, por semelhança de triângulos, a aresta da base da parte cheia mede
Como a base é quadrada, sua área vale
e o volume de uma pirâmide de altura
é
Passo 3
Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo
, obtemos
Passo 4
Primeiro convertemos a vazão para metros cúbicos por minuto:
No instante
,m, temos
. Substituindo em
, resulta