- Considere a função
, para
.
(a)
Calcule
.
(b)
Calcule
.
©
Calcule
.
(d)
Determine as equações das assíntotas verticais e horizontais de
, quando existirem.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
A questão dá a função
e pede vários limites e as assíntotas verticais e horizontais. O conteúdo é limites em pontos de descontinuidade (tanto removíveis como singulares) e em infinito, além de assíntotas. Vamos precisar fatorar numerador e denominador para identificar que tipo de descontinuidade aparece.
Passo 2
Para simplificar a análise, fatoramos numerador e denominador:
Passo 3
Usando a forma simplificada
, calculamos os limites em pontos de descontinuidade removíveis:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Agora os limites na singularidade não removível em
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Em seguida, os limites no infinito:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Por fim, as assíntotas: como só há descontinuidade infinita em
, a assíntota vertical é
. E pelo limite em infinito igual a
, a assíntota horizontal é
.
Resposta
lim\nolimits_{x\to-2}f(x)=-\tfrac12; \quad lim\nolimits_{x\to1}f(x)=1; \quad lim\nolimits_{x\to2^+}f(x)=-\infty; \quad lim\nolimits_{x\to2^-}f(x)=+\infty; \quad lim\nolimits_{x\to+\infty}f(x)=lim\nolimits_{x\to-\infty}f(x)=-1; , Vertical: x=2; , Horizontal: y=-1.