1. Considere a função x neq pm 2 e x neq 1, para [1,5 pt].
    (a) lim x -2 f(x) e lim x 1 f(x) Calcule [1,0 pt].
    (b) lim x 2^+ f(x) e lim x 2^- f(x) Calcule [1,0 pt].
    © lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x) Calcule [1,0 pt].
    (d) f Determine as equações das assíntotas verticais e horizontais de , quando existirem.

Passo 1

A questão dá a função f(x)=x^3+x^2-2x(4-x^2)(x-1) e pede vários limites e as assíntotas verticais e horizontais. O conteúdo é limites em pontos de descontinuidade (tanto removíveis como singulares) e em infinito, além de assíntotas. Vamos precisar fatorar numerador e denominador para identificar que tipo de descontinuidade aparece.

Passo 2

Para simplificar a análise, fatoramos numerador e denominador:
f(x)&=x^3+x^2-2x(4-x^2)(x-1)=x(x^2+x-2)(2-x)(2+x)(x-1) &=x(x+2)(x-1)-1cdot(x+2)(x-1)(x-2)=-xx-2, xneqpm2,1

Passo 3

Usando a forma simplificada -xx-2, calculamos os limites em pontos de descontinuidade removíveis:
  • Para xto-2:
limxto-2f(x)=limxto-2l(-xx-2r)=--2-2-2=2-4=-tfrac12
  • Para xto1:
limxto1f(x)=limxto1l(-xx-2r)=-11-2=-1-1=1

Passo 4

Agora os limites na singularidade não removível em x=2:
  • Para xto2^+:
limxto2^+f(x)=-xx-2approx-2+0= -infty
  • Para xto2^-:
limxto2^-f(x)=-xx-2approx-2-0= +infty

Passo 5

Em seguida, os limites no infinito:
  • Para xto+infty:
limxto+inftyf(x)=limxto+inftyl(-xx-2r)=-1
  • Para xto-infty:
limxto-inftyf(x)=limxto-inftyl(-xx-2r)=-1

Passo 6

Por fim, as assíntotas: como só há descontinuidade infinita em x=2, a assíntota vertical é x=2. E pelo limite em infinito igual a -1, a assíntota horizontal é y=-1.

Resposta

lim\nolimits_{x\to-2}f(x)=-\tfrac12; \quad lim\nolimits_{x\to1}f(x)=1; \quad lim\nolimits_{x\to2^+}f(x)=-\infty; \quad lim\nolimits_{x\to2^-}f(x)=+\infty; \quad lim\nolimits_{x\to+\infty}f(x)=lim\nolimits_{x\to-\infty}f(x)=-1; , Vertical: x=2; , Horizontal: y=-1.

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