[1,5 pt.] 6) Obtenha dez soluções para o problema
x y^prime=y-1, y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x,y' = y - 1
com condição inicial y(0)=1.
O ponto x=0 é singular (o termo x multiplica y'), então o teorema de existência e unicidade não garante solução única. Vamos resolver por variáveis separáveis e ver que surge uma família infinita de soluções.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando y':
y' = y-1x
Agora separamos as variáveis, colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro:
dyy-1 = dxx

Passo 3

Integramos ambos os lados da igualdade:
integral dyy-1 = integral dxx
No lado esquerdo usamos a substituição u=y-1, e no direito reconhecemos a integral do logaritmo.

Passo 4

As integrais dão
lnl|y-1r| = lnl|xr| + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando, obtemos
l|y-1r| = e^C,l|xr|
Chamando K=e^C (que pode ser positivo, e expandindo o valor absoluto pela constante), obtemos a forma geral
y = 1 + K,x,
com KinR.

Passo 5

Agora impomos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 em
y(0)=1+Kcdot0 = 1,
vemos que ela é satisfeita para qualquer valor de K. Logo existe uma família infinita de soluções lineares que passam por (0,1).

Passo 6

Para responder ao enunciado, basta escolher dez valores distintos de K e escrever as dez soluções correspondentes.

Resposta

Abaixo estão dez soluções do problema x,y' = y-1, y(0)=1, escolhendo K=0,1,2,dots,9:
y1(x) &= 1 + 0,x = 1, y2(x) &= 1 + 1,x = 1 + x, y3(x) &= 1 + 2,x, y4(x) &= 1 + 3,x, y5(x) &= 1 + 4,x, y6(x) &= 1 + 5,x, y7(x) &= 1 + 6,x, y8(x) &= 1 + 7,x, y9(x) &= 1 + 8,x, y10(x) &= 1 + 9,x

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