O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
com condição inicial .
O ponto é singular (o termo multiplica ), então o teorema de existência e unicidade não garante solução única. Vamos resolver por variáveis separáveis e ver que surge uma família infinita de soluções.
Passo 2
Reescrevemos a equação isolando :
Agora separamos as variáveis, colocando todos os termos em de um lado e em do outro:
Passo 3
Integramos ambos os lados da igualdade:
No lado esquerdo usamos a substituição , e no direito reconhecemos a integral do logaritmo.
Passo 4
As integrais dão
onde C é constante de integração. Exponenciando, obtemos
l|y-1r| = e^C,l|xr|
Chamando K=e^C (que pode ser positivo, e expandindo o valor absoluto pela constante), obtemos a forma geral
y = 1 + K,x,
com KinR.
Passo 5
Agora impomos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 em
y(0)=1+Kcdot0 = 1,
vemos que ela é satisfeita para qualquer valor de K. Logo existe uma família infinita de soluções lineares que passam por (0,1).
Passo 6
Para responder ao enunciado, basta escolher dez valores distintos de K e escrever as dez soluções correspondentes.
Resposta
Abaixo estão dez soluções do problema x,y' = y-1, y(0)=1, escolhendo K=0,1,2,dots,9: