Questão 3: Simplificação Trigonométrica
Simplifique as expressões abaixo:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: simplificar a expressão
.
Informações dadas:
é a soma de duas funções seno com argumentos compostos por
e
. Não há valores numéricos; queremos uma forma algébrica mais simples equivalente a essa expressão.
Passo 2
Fórmulas trigonométricas necessárias (aula curta e direta):
A identitade de adição e subtração para o seno é
A identitade de adição e subtração para o seno é
O que isso significa: quando você tem seno de uma soma ou diferença de dois ângulos
e
, você pode transformar esse seno em soma ou diferença de produtos entre seno e cosseno dos ângulos separados. Nas expressões,
e
são as funções trigonométricas seno e cosseno;
e
são quaisquer ângulos (podem ser reais). Essa fórmula é fundamental e muito usada em provas porque converte combinações de ângulos em produtos, que frequentemente se simplificam.
Exemplo rápido para fixar: usando a fórmula com
e
,
Isso é só para ver a ideia; agora aplicamos ao nosso caso.
Passo 3
Aplique a fórmula a cada termo de
.
Para
:
Para
:
Aqui eu usei a fórmula com
e
, substituindo em cada sinal conforme o caso.
Passo 4
Some as duas expansões e veja o que acontece (passo a passo):
substituindo as expansões:
Agrupando termos semelhantes:
Observe que os termos
se cancelam:
Restam os dois termos iguais
, somados:
Passo 5
Interpretação final e dica para a prova:
A identidade final é
A identidade final é
Essa é uma forma da chamada fórmula “soma para produto” (ou “identidade de soma”). Na prova, sempre que vir
com argumentos relacionados (como
e
), vale tentar expandir por
ou lembrar direto da identidade padrão
que, aplicando
e
, dá exatamente
.
Pequena checagem numérica (pra você ganhar confiança): tome
e
.
e
valores muito próximos (diferença por arredondamento), confirmando a identidade.