Questão 3: Simplificação Trigonométrica
Simplifique as expressões abaixo:
\sin (x+y)+\sin (x-y).

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão \sin(x+y)+\sin(x-y).
Informações dadas:
\sin(x+y)+\sin(x-y) é a soma de duas funções seno com argumentos compostos por x+y e x-y. Não há valores numéricos; queremos uma forma algébrica mais simples equivalente a essa expressão.

Passo 2

Fórmulas trigonométricas necessárias (aula curta e direta):
A identitade de adição e subtração para o seno é
\sin(a\pm b)=\sin a\cos b \pm \cos a\sin b.
O que isso significa: quando você tem seno de uma soma ou diferença de dois ângulos a e b, você pode transformar esse seno em soma ou diferença de produtos entre seno e cosseno dos ângulos separados. Nas expressões, \sin e \cos são as funções trigonométricas seno e cosseno; a e b são quaisquer ângulos (podem ser reais). Essa fórmula é fundamental e muito usada em provas porque converte combinações de ângulos em produtos, que frequentemente se simplificam.
Exemplo rápido para fixar: usando a fórmula com a=30^\circ e b=20^\circ,
\sin(30^\circ+20^\circ)=\sin30^\circ\cos20^\circ+\cos30^\circ\sin20^\circ.
Isso é só para ver a ideia; agora aplicamos ao nosso caso.

Passo 3

Aplique a fórmula a cada termo de \sin(x+y)+\sin(x-y).
Para \sin(x+y):
\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y.
Para \sin(x-y):
\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y.
Aqui eu usei a fórmula com a=x e b=y, substituindo em cada sinal conforme o caso.

Passo 4

Some as duas expansões e veja o que acontece (passo a passo):
\sin(x+y)+\sin(x-y)
substituindo as expansões:
(\sin x\cos y+\cos x\sin y)+(\sin x\cos y-\cos x\sin y).
Agrupando termos semelhantes:
\sin x\cos y+\sin x\cos y+\cos x\sin y-\cos x\sin y.
Observe que os termos \cos x\sin y se cancelam:
\cos x\sin y-\cos x\sin y=0.
Restam os dois termos iguais \sin x\cos y, somados:
\sin x\cos y+\sin x\cos y=2\sin x\cos y.

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova:
A identidade final é
\sin(x+y)+\sin(x-y)=2\sin x\cos y.
Essa é uma forma da chamada fórmula “soma para produto” (ou “identidade de soma”). Na prova, sempre que vir \sin(\alpha)+\sin(\beta) com argumentos relacionados (como \alpha=x+y e \beta=x-y), vale tentar expandir por \sin(a\pm b) ou lembrar direto da identidade padrão
\sin A+\sin B=2\sin\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\!\left(\frac{A-B}{2}\right),
que, aplicando A=x+y e B=x-y, dá exatamente 2\sin x\cos y.
Pequena checagem numérica (pra você ganhar confiança): tome x=30^\circ e y=20^\circ.
\sin50^\circ+\sin10^\circ \approx 0{,}7660+0{,}1736=0{,}9396,
e
2\sin30^\circ\cos20^\circ=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\cos20^\circ=\cos20^\circ\approx0{,}9397,
valores muito próximos (diferença por arredondamento), confirmando a identidade.

Resposta

\;2\sin x\cos y\;

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