Verifique que y_{1} e y_{2} são soluções da equação diferencial dada mas y=c_{1} y_{1}+c_{2} y_{2} não é, em geral, uma solução.
y y^{\prime \prime}=\frac{1}{2}\left(y^{\prime}\right)^{2} ; y_{1}=1, y_{2}=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para checar que as funções \,y_{1}=1 e \,y_{2}=x^{2} satisfazem a equação diferencial
y\,y''=\frac12\bigl(y'\bigr)^{2}
e mostrar que a combinação linear y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2} não satisfaz em geral (isto é, a equação é não-linear e não admite superposição).

Passo 2

Verificação de y_{1}=1. Calculamos
y_{1}'=0,\quad y_{1}''=0.
Substituindo em y\,y'' e em \tfrac12(y')^{2}, obtemos
y_{1}\,y_{1}'' = 1\cdot0 = 0,
\tfrac12\bigl(y_{1}'\bigr)^{2} = \tfrac12\cdot0^{2} = 0.
Como os dois lados coincidem, y_{1}=1 é solução.

Passo 3

Verificação de y_{2}=x^{2}. Calculamos
y_{2}' = 2x,\quad y_{2}''=2.
Substituindo,
y_{2}\,y_{2}'' = x^{2}\cdot2 = 2x^{2},
\tfrac12\bigl(y_{2}'\bigr)^{2} = \tfrac12\,(2x)^{2} = \tfrac12\cdot4x^{2} = 2x^{2}.
Como os dois lados são iguais, y_{2}=x^{2} é solução.

Passo 4

Teste da combinação linear y = c_{1}\cdot1 + c_{2}\,x^{2}. Calculamos
y' = 2c_{2}\,x,\quad y'' = 2c_{2}.
Então
y\,y'' = \bigl(c_{1} + c_{2}x^{2}\bigr)\,2c_{2} = 2c_{1}c_{2} + 2c_{2}^{2}x^{2},
\tfrac12\bigl(y'\bigr)^{2} = \tfrac12\,(2c_{2}x)^{2} = 2c_{2}^{2}x^{2}.
Para a equação ser satisfeita precisamos de
2c_{1}c_{2} + 2c_{2}^{2}x^{2} \;=\; 2c_{2}^{2}x^{2} \quad\Longrightarrow\quad 2c_{1}c_{2}=0.
Isso só ocorre se c_{1}c_{2}=0, ou seja, ou c_{1}=0 ou c_{2}=0. Fora desses casos triviais, a combinação não satisfaz a ODE.

Resposta

As funções y_{1}=1 e y_{2}=x^{2} satisfazem a equação
y\,y''=\frac12(y')^{2},
mas a combinação linear y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2} não é solução a menos que c_{1}c_{2}=0, mostrando que não há princípio de superposição nessa ODE não-linear.

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