[1,5 pts cada item] Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^3+x yx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis em (0,0). O conteúdo é limite em várias variáveis e o critério de dependência de trajetória: se o limite ao longo de retas y=mx variar com m, então o limite não existe.

Passo 2

Vamos percorrer a família de retas y=mx, onde m é um parâmetro real. Substituindo em x^3 + x yx^2+y^2 obtemos
x^3 + x,(m x)x^2 + (m x)^2 = x^3 + m x^2x^2 (1+m^2) = x^2(x+m)x^2(1+m^2) = x+m1+m^2

Passo 3

Agora fazemos xto0 nessa expressão. Isso dá
limxto0x+m1+m^2 = m1+m^2

Passo 4

O valor m1+m^2 depende de m. Por exemplo:
m=0implies m1+m^2=0, m=1implies m1+m^2=12
Como esses resultados são distintos, o limite não pode existir.

Resposta

O limite não existe.

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