Calcule as derivadas parciais de 1^ a ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
lllll i(x, y)=e^x^2 y(y x^2+1 / x)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
i(x,y)=e^x^2yl(yx^2+x^-1r)
Para isso vamos usar a regra do produto (para derivar Acdot B) e a regra da cadeia (para derivar e^u(x,y)), além de identificar o domínio, pois há o termo x^-1.

Passo 2

O termo x^-1 só existe para xneq0. Como e^x^2y está definido em todo R^2, o domínio da função é
D=(x,y)inR^2mid xneq0
Nesse mesmo conjunto as derivadas parciais existem e são contínuas.

Passo 3

Vamos chamar
A(x,y)=e^x^2y, B(x,y)=yx^2+x^-1,
de modo que i=Acdot B. Pela regra do produto,
partial ipartial x = Ax,B + A,Bx
Pela cadeia,
Ax =e^x^2y,partial (x^2y)partial x =2xy,e^x^2y,
e
Bx =partial (yx^2)partial x +partial(x^-1)partial x =2yx - x^-2
Logo,
partial ipartial x =2xy,e^x^2y(yx^2+x^-1) +e^x^2y(2yx - x^-2)
=e^x^2yl(2x y(yx^2+x^-1)+2yx - x^-2r) =e^x^2yl(2x^3y^2+2y+2xy - x^-2r)

Passo 4

Para partial i/partial y, ainda i=Acdot B, então
partial ipartial y = Ay,B + A,By
Pela cadeia,
Ay =e^x^2y,partial (x^2y)partial y =x^2e^x^2y,
e
By =partial (yx^2)partial y +partial(x^-1)partial y =x^2+0 =x^2
Logo,
partial ipartial y =x^2e^x^2y(yx^2+x^-1) +e^x^2y,x^2
=e^x^2yl(x^2(yx^2+x^-1)+x^2r) =e^x^2y(x^4y + x + x^2)

Resposta

Domínio de i e das derivadas parciais:
(x,y)inR^2mid xneq0
partial ipartial x(x,y) =e^x^2yl(2x^3y^2+2y+2xy - x^-2r), partial ipartial y(x,y) =e^x^2y(x^4y + x + x^2)

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