[1,5 pts cada item] Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) 2 x^2 cdot sen(y)3 x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede a avaliação do limite
lim(x,y)to(0,0) 2x^2,sen(y)3x^2+y^2
O conteúdo envolvido é o estudo de limites de funções de duas variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (ou Desigualdade do Sanduíche) junto com a desigualdade básica lvertsen(y)rvert<=lvert yrvert.

Passo 2

Começamos estimando o valor absoluto da função. Seja
f(x,y)=2x^2,sen(y)3x^2+y^2
Então
llvert f(x,y)rrvert = lvert 2x^2,sen(y)3x^2+y^2rvert <= 2x^2,lvert yrvert3x^2+y^2,
pois lvertsen(y)rvert<=lvert yrvert.

Passo 3

Agora note que 3x^2+y^2>=3x^2. Logo,
2x^2,lvert yrvert3x^2+y^2 <= 2x^2,lvert yrvert3x^2 = 23,lvert yrvert
Como lvert yrvertto0 quando (x,y)to(0,0), pelo Teorema do Confronto segue que lvert f(x,y)rvertto0. Portanto f(x,y)to0.

Resposta

0

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