d yd x=cos (x+y), y(0)=pi / 4

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
d yd x = cosl(x+yr),
com a condição inicial y(0)=pi/4.
O conteúdo aqui é resolver uma equação de primeira ordem que não é imediatamente separável, mas que fica separável após a substituição
z = x + y

Passo 2

Definindo z = x+y, temos
d zd x = dd x(x+y) = 1 + d yd x = 1 + cos(z)
Isso leva à separação de variáveis
d z1+cos(z) = d x

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados. Primeiro note que
1+cos(z) = 2cos^2!l(z2r),
logo
11+cos(z) = 12cos^2!l(z2r) = tfrac12,sec^2!l(z2r)
Portanto,
integral d z1+cos(z) = 12 integral sec^2!l(z2r),d z
Fazendo a substituição u = tfracz2, d z = 2,d u, vem
12 integral sec^2(u),2,d u = integral sec^2(u),d u = tan(u) = tan!l(tfracz2r)
Assim a integral dá
tan!l(tfracz2r) = x + C

Passo 4

Voltando à condição inicial: em x=0 temos y(0)=pi/4, logo
z(0) = 0 + y(0) = pi4,
e
tan!l(tfracpi/42r) = tan!l(tfracpi8r) = 0 + C,
portanto
C = tan!l(tfracpi8r)

Passo 5

A relação implícita é
tan!l(tfracx+y2r) = x + tan!l(tfracpi8r)
Para isolar y, aplicamos a arctangente e reorganizamos:
x+y2 = arctan!l(x + tan!tfracpi8r) Longrightarrow y = 2,arctan!l(x + tan!tfracpi8r);-;x

Resposta

boxedy(x) = -,x ;+; 2,arctan!l(x + tan!tfracpi8r)

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