[1,5 pts ] Seja z=f(x, y) uma função diferenciável de duas variáveis tal que
partial fpartial x(2,-3)=5 e partial fpartial y(2,-3)=-10
Calcule a derivada direcional de f no ponto (2,-3) na direção do vetor u=45 i-35 j.

Passo 1

O enunciado dá f(x,y) diferenciável e informa partial fpartial x(2,-3)=5 e partial fpartial y(2,-3)=-10. Pede a derivada direcional de f em (2,-3) na direção do vetor unitário vec u=45vec i-35vec j. Vamos usar que a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção.

Passo 2

O gradiente de f em (2,-3) é
nabla f(2,-3) = (partial fpartial x(2,-3),,partial fpartial y(2,-3)) = (5,,-10)

Passo 3

A derivada direcional é
Dvec uf(2,-3) = nabla f(2,-3)cdot vec u = (5,-10)cdotl(tfrac45,-tfrac35r) = 5cdottfrac45 + (-10)cdotl(-tfrac35r) =4 + 6 =10

Resposta

A derivada direcional vale 10.

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