[2, p.183] Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y)=integral0^x^2+y^2 e^-t^2 d t g(x, y)=integraly^x sin t^2 d t h(x, y)=integralx^2^y^2 e^-t^2 d t l(r, s)=r sin scos (r^2+s^2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de funções definidas via integrais com limites que dependem de x,y e uma função racional em r,s. Para f,g,h usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a Regra da Cadeia. Para l aplicaremos a Regra do Quociente (ou Produto) e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Para
f(x,y)=integral0^x^2+y^2 e^-t^2,dt
usamos FTC parte I e cadeias. Como o limite superior é phi(x,y)=x^2+y^2,
fx = e^-l(x^2+y^2r)^2,partialpartial x(x^2+y^2) =2x,e^-(x^2+y^2)^2,
fy = e^-l(x^2+y^2r)^2,partialpartial y(x^2+y^2) =2y,e^-(x^2+y^2)^2

Passo 3

Para
g(x,y)=integraly^xsin(t^2),dt
tratamos o limite superior e inferior separadamente:
gx = sinl(x^2r),
gy = -sinl(y^2r)

Passo 4

Para
h(x,y)=integralx^2^y^2e^-t^2,dt
escrevemos h=F(y^2)-F(x^2) com F'=e^-t^2. Logo,
hx = -e^-l(x^2r)^2cdot2x = -2x,e^-x^4,
hy = e^-l(y^2r)^2cdot2y = 2y,e^-y^4

Passo 5

Para
l(r,s)=rsin scosl(r^2+s^2r)
usamos Regra do Quociente. Sea N=rsin s e D=cos(r^2+s^2). Então
partial Npartial r=sin s, partial Dpartial r=-sin(r^2+s^2)cdot2r
lr =sin s;D - N;partial Dpartial rD^2 =sin scos(r^2+s^2)+2r^2sin ssin(r^2+s^2)cos^2(r^2+s^2)
Igualmente,
partial Npartial s=rcos s, partial Dpartial s=-sin(r^2+s^2)cdot2s,
ls =rcos s;cos(r^2+s^2)+2rssin ssin(r^2+s^2)cos^2(r^2+s^2)

Resposta

fx=2x,e^-(x^2+y^2)^2, fy=2y,e^-(x^2+y^2)^2
gx=sin(x^2), gy=-sin(y^2)
hx=-2x,e^-x^4, hy=2y,e^-y^4
lr=sin sl[cos(r^2+s^2)+2r^2sin(r^2+s^2)r]cos^2(r^2+s^2), ls=rl[cos scos(r^2+s^2)+2ssin ssin(r^2+s^2)r]cos^2(r^2+s^2)

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