[2 pts] Determine equações paramétricas para a reta tangente à trajetória
r: x(t)=e^t cdot cos (t) e y(t)=e^t cdot sen(t)
no ponto de interseção da mesma com o círculo de equação x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta tangente à curva
vec r(t) com
x(t)=e^tcos t
e
y(t)=e^tsen t
no ponto em que ela cruza o círculo x^2+y^2=1. Vamos achar o valor de t desse ponto, calcular vec r'(t) e montar a reta usando o ponto de tangência e o vetor direção.

Passo 2

Para encontrar o ponto de interseção impomos
Logo implica e portanto
O ponto correspondente é
.

Passo 3

Calculamos a derivada do vetor posição:
dot x(t) =ddtl(e^tcos tr) =e^t(cos t-sin t),
dot y(t) =ddtl(e^tsen tr) =e^t(sen t+cos t)
Em notação vetorial,
vec r'(t) =l(e^t(cos t-sin t),,e^t(sen t+cos t)r)

Passo 4

Em t=0 o vetor direção é
vec r'(0) =(e^0(1-0),,e^0(0+1)) =(1,1)
Assim, a reta tangente em (1,0) tem vetor direção (1,1).

Passo 5

Tomando parâmetro sin R, as equações paramétricas da reta tangente ficam
x=1+s, y=0+s=s

Resposta

x=1+s, y=s, sin R

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