Faça um esboço da região de integração e calcule as integrais sendo explícito se vai precisar mudar a ordem de integração.
\begin{aligned} & \int_{1}^{2} \int_{y}^{y^{2}} d x d y \text {. } \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
D = \{(x,y)\mid 1\le y\le2,\;y\le x\le y^2\}
e calcular
I = \int_{1}^{2}\int_{y}^{y^2}dx\,dy.
O conteúdo é integração dupla iterada e, se quisermos, mudança de ordem de integração.

Passo 2

Para desenhar D, note que para cada y\in[1,2] temos x variando de x=y até x=y^2.
  • A curva x=y é a reta de coeficiente angular 1.
  • A curva x=y^2 é uma parábola que para y\ge1 fica à direita da reta.
    No plano (x,y) a região fica entre essas duas curvas, limitada por y=1 e y=2.

Passo 3

Calculemos direto:
\int_{y}^{y^2}dx = \bigl[x\bigr]_{x=y}^{x=y^2} = y^2 - y.
Então
I = \int_{1}^{2}(y^2 - y)\,dy = \int_{1}^{2}y^2\,dy - \int_{1}^{2}y\,dy.
Agora
\int_{1}^{2}y^2\,dy = \Bigl[\tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{1}^{2} = \tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3} = \tfrac{7}{3},
\int_{1}^{2}y\,dy = \Bigl[\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{1}^{2} = 2-\tfrac12 = \tfrac{3}{2}.
Logo
I = \tfrac{7}{3} - \tfrac{3}{2} = \tfrac{14-9}{6} = \tfrac{5}{6}.

Passo 4

Para inverter a ordem, observamos que x varia de x_{\min}=1 até x_{\max}=4 (pois em y=2, y^2=4). Para um dado x, as restrições y\le x e x\le y^2 viram
y \le x \quad\text{e}\quad y \ge \sqrt{x},
além de 1\le y\le2.
  • Se 1\le x\le2, temos \sqrt{x}\le x\le2, então y vai de \sqrt{x} até x.
  • Se 2\le x\le4, temos \sqrt{x}\ge1 e x\ge2, então y vai de \sqrt{x} até 2.

Passo 5

A integral trocando a ordem fica
I = \int_{1}^{2}\int_{\sqrt{x}}^{x}dy\,dx \;+\; \int_{2}^{4}\int_{\sqrt{x}}^{2}dy\,dx.
Em cada pedaço \int dy = (\text{lim sup de }y)-(\text{lim inf de }y), dá exatamente a mesma conta e retorna \tfrac{5}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{6}

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