Faça um esboço da região de integração e calcule as integrais sendo explícito se vai precisar mudar a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região
e calcular
O conteúdo é integração dupla iterada e, se quisermos, mudança de ordem de integração.
Passo 2
Para desenhar
, note que para cada
temos
variando de
até
.
- A curva
é a reta de coeficiente angular . - A curva
é uma parábola que para fica à direita da reta.
No planoa região fica entre essas duas curvas, limitada por e .
Passo 3
Calculemos direto:
Então
Agora
Logo
Passo 4
Para inverter a ordem, observamos que
varia de
até
(pois em
,
). Para um dado
, as restrições
e
viram
além de
.
- Se
, temos , então vai de até . - Se
, temos e , então vai de até .
Passo 5
A integral trocando a ordem fica
Em cada pedaço
, dá exatamente a mesma conta e retorna
.