1ª̊ Questão

(20 pontos) Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=8-2 x^{2}.
A) Calcule a inclinação da reta tangente à curva f no ponto x=a.
B) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1, f(1)).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=8-2x^2. Pede-se (A) a inclinação da reta tangente em x=a e (B) a equação da reta tangente no ponto (1,f(1)). Para isso vamos usar derivação pela regra de potência e, depois, a fórmula ponto-inclinação da reta tangente.

Passo 2

Calcular a derivada de f. Pela regra de potência,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(8\bigr)-2\frac{d}{dx}\bigl(x^2\bigr) =0-2\cdot 2x=-4x.

Passo 3

A inclinação da reta tangente em x=a é dada por
m(a)=f'(a)=-4a.

Passo 4

No ponto x=1 temos
f(1)=8-2\cdot1^2=6, \quad m(1)=f'(1)=-4\cdot1=-4.

Passo 5

Usamos a fórmula da reta tangente em ponto (x_0,y_0):
y-y_0=m\,(x-x_0).
Aqui x_0=1, y_0=6 e m=-4. Logo
y-6=-4\,(x-1) \quad\Longrightarrow\quad y=-4x+4+6 \quad\Longrightarrow\quad y=-4x+10.

Resposta

(A) m(a)=-4a
(B) y=-4x+10

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