5{ }^{\text {a }} Questão

(20 pontos) Determine o valor a e defina f(1) de modo que a função dada por
f(x)= \begin{cases}x^{2}-4 x+1, & \text { se } x<1 \\\ a x+2, & \text { se } x>1\end{cases}
seja contìnua.

Passo 1

O enunciado dá a função definida em dois ramos
f(x)= \begin{cases} x^{2}-4x+1, &\text{se }x<1,\\\ ax+2, &\text{se }x>1, \end{cases}
e pede para escolher a e f(1) de modo que f seja contínua em x=1.
Em teoria, para continuidade num ponto de separação de dois ramos, devemos ter
  1. \displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x),
  2. esse valor comum deve ser igual a f(1).

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda em x=1. No ramo x<1,
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}\bigl(x^{2}-4x+1\bigr) =1^{2}-4\cdot1+1 =-2.

Passo 3

Calcular o limite pela direita em x=1. No ramo x>1,
\lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{x\to1^+}(ax+2) =a\cdot1+2 =a+2.

Passo 4

Impor que os limites lateral esquerdo e direito sejam iguais:
-2 = a + 2 \quad\Longrightarrow\quad a = -4.

Passo 5

Definir f(1) igual a esse valor comum para garantir continuidade:
f(1) = -2.

Resposta

a = -4 e f(1) = -2.

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