(20 pontos) Seja f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x+4 & \text { se } x<0 \\\\ 3-x & \text { se } 0 \leq x<3 \\\ (x-3)^{2} & \text { se } x>3\end{array}\right.. A) Calcule cada limite, se ele existir. B) Onde f é descontínua? (justifique) i) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) ii) \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x) iii) \lim _{x \rightarrow 0} f(x) iv) \lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x) v) \lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x) vi) \lim _{x \rightarrow 3} f(x)

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} 2x+4, & x<0,\\\\ 3-x, & 0\le x<3,\\\ (x-3)^2, & x>3 \end{cases}
e pede em (A) os limites i)–vi) em x=0 e x=3; em (B) determinar onde f é descontínua. Vamos usar definição de limite lateral, comparar limites laterais e checar existência de f no ponto para decidir continuidade.

Passo 2

Calcular os limites em x=0.
Para x\to0^- usamos f(x)=2x+4, logo
\lim_{x\to0^-}f(x)=2\cdot0+4=4.
Para x\to0^+ usamos f(x)=3-x, logo
\lim_{x\to0^+}f(x)=3-0=3.

Passo 3

Como \lim_{x\to0^-}f(x)=4\neq3=\lim_{x\to0^+}f(x), o limite \lim_{x\to0}f(x) não existe.

Passo 4

Calcular os limites em x=3.
Para x\to3^- usamos f(x)=3-x, logo
\lim_{x\to3^-}f(x)=3-3=0.
Para x\to3^+ usamos f(x)=(x-3)^2, logo
\lim_{x\to3^+}f(x)=(3-3)^2=0.

Passo 5

Como \lim_{x\to3^-}f(x)=0=\lim_{x\to3^+}f(x), o limite \lim_{x\to3}f(x) existe e vale 0.

Passo 6

Identificar descontinuidades.
Em x=0: o limite não existe (jump), embora f(0)=3 (definido), há salto.
Em x=3: o limite existe (igual a 0), mas f não está definido em x=3, logo é descontinuidade do tipo “removível” por falta de valor.

Resposta

i) \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=3
ii) \displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=4
iii) \displaystyle\lim_{x\to0}f(x) não existe
iv) \displaystyle\lim_{x\to3^-}f(x)=0
v) \displaystyle\lim_{x\to3^+}f(x)=0
vi) \displaystyle\lim_{x\to3}f(x)=0
B) f é descontínua em x=0 (limites laterais diferentes) e em x=3 (falta f(3)).

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