(20 pontos) Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} x^{6} \cos \left(\frac{3}{x^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \lim_{x\to0} x^{6}\cos\bigl(\tfrac{3}{x^{3}}\bigr). O conteúdo envolvido é limites de funções que combinam um polinômio e uma função trigonométrica oscilante. Vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema da Casa do Sanduíche), que é indicado quando temos uma função limitada multiplicada por um fator que tende a zero.

Passo 2

Sabendo que \cos(\theta) satisfaz
-1 \le \cos(\theta)\le 1
para todo \theta, substituímos \theta=\tfrac{3}{x^{3}} e obtemos
-1 \le \cos\Bigl(\tfrac{3}{x^{3}}\Bigr)\le 1.
Multiplicando essa desigualdade por x^{6}\ge0, resulta
-x^{6} \le x^{6}\cos\Bigl(\tfrac{3}{x^{3}}\Bigr)\le x^{6}.

Passo 3

Agora verificamos os limites das funções de contorno:
\lim_{x\to0} (-x^{6}) = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0} x^{6} = 0.
Pelo Teorema do Confronto, a função intermediária também tende a esse mesmo valor:
\lim_{x\to0} x^{6}\cos\Bigl(\tfrac{3}{x^{3}}\Bigr) = 0.

Resposta

0

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