1¹ Questão - Em uma garrafa de espumante o bolsão de gás que fica entre a rolha e o líquido é composto de dióxido de carbono ( CO2, massa molar de 44,0 g / mol ). Possui um volume de 80 cm^3, temperatura de 5 ^0 C e está a uma pressão 500 kPa . Quando aberta a garrafa o gás se expande até alcançar a pressão ambiente de 100 kPa . Considerando uma expansão adiabática e o dióxido de carbono um gás ideal encontre: A) a temperatura do gás expandido; B) o trabalho realizado pelo gás; C) a da velocidade quadrática média das moléculas após a expansão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma garrafa de espumante com dióxido de carbono ( CO2) preso no bolsão de gás. As condições iniciais são: volume de 80 cm^3, temperatura de 5 ^0 C e pressão de 500 kPa. Quando a garrafa é aberta, o gás se expande até a pressão ambiente de 100 kPa. A gente vai tratar essa expansão como adiabática, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente das transformações adiabáticas em gases ideais, além de fórmulas para trabalho realizado e velocidade quadrática média das moléculas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a temperatura de Celsius para Kelvin, porque nas equações de gases ideais a temperatura precisa estar em Kelvin.
T1 = 5^circC + 273,15 = 278,15 , K

Passo 3

Agora, vamos lembrar que para uma expansão adiabática em um gás ideal, a relação entre temperatura e pressão é:
T1 cdot P1^1-gammagamma = T2 cdot P2^1-gammagamma
Onde gamma é a razão dos calores específicos ( Cp/Cv). Para o CO2, gamma approx 1,3.

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para encontrar a temperatura final T2:
T2 = T1 (P2P1)^gamma -1gamma
Substituindo os valores:
T2 = 278,15 (100500)^1,3 -11,3 = 278,15 (0,2)^0,31,3

Passo 5

Calculando o expoente:
0,31,3 approx 0,2308
Então:
T2 = 278,15 times (0,2)^0,2308
Calculando (0,2)^0,2308 approx 0,659
Portanto:
T2 approx 278,15 times 0,659 approx 183,3 , K

Passo 6

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pelo gás durante a expansão adiabática. A fórmula para o trabalho em um processo adiabático é:
W = P1 V1 - P2 V2gamma - 1
Primeiro, precisamos converter o volume de 80 cm^3 para litros:
V1 = 80 , cm^3 = 0,08 , L = 0,00008 , m^3
Sabemos que, para um gás ideal:
P1 V1 = n R T1 P2 V2 = n R T2
Como a quantidade de gás não muda, podemos relacionar os volumes:
V2 = V1 (P1P2)^1gamma
V2 = 0,00008 (500100)^11,3 approx 0,00008 times 3,17 approx 0,000254 , m^3
Agora, calculando o trabalho:
W = 500 times 0,00008 - 100 times 0,0002541,3 - 1 W = 0,04 - 0,02540,3 W = 0,01460,3 approx 0,0487 , J

Passo 7

Por fim, vamos calcular a velocidade quadrática média das moléculas após a expansão. A fórmula para a velocidade quadrática média é:
vrms = raiz3 kB Tm
Onde:
  • kB é a constante de Boltzmann ( 1,38 times 10^-23 , J/K)
  • T é a temperatura em Kelvin
  • m é a massa de uma molécula de CO2
Primeiro, calculamos a massa molar do CO2:
M = 44,0 , g/mol = 0,044 , kg/mol
A massa de uma molécula é:
m = MNA = 0,0446,022 times 10^23 approx 7,31 times 10^-26 , kg
Agora, usando a temperatura final T2 = 183,3 , K:
vrms = raiz3 times 1,38 times 10^-23 times 183,37,31 times 10^-26 vrms = raiz7,57 times 10^-217,31 times 10^-26 vrms = raiz1,035 times 10^5 approx 321 , m/s

Resposta

A temperatura do gás expandido é aproximadamente 183,3 , K, o trabalho realizado pelo gás é cerca de 0,0487 , J, e a velocidade quadrática média das moléculas após a expansão é aproximadamente 321 , m/s.

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