QUESTÃO 1: Verificar se as equações diferenciais abaixo são exatas ou não. Determine também a solução das mesmas em cada caso. (Valor: 1,5 ponto)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
coloquei em forma exata e, em caso afirmativo,
encontrar a sua solução geral. O conteúdo aqui é
exatidão em equações diferenciais e
vamos precisar testar se ∂M/∂y = ∂N/∂x e achar uma função potencial φ(x,y).
coloquei em forma exata e, em caso afirmativo,
encontrar a sua solução geral. O conteúdo aqui é
exatidão em equações diferenciais e
vamos precisar testar se ∂M/∂y = ∂N/∂x e achar uma função potencial φ(x,y).
Passo 2
Vamos reescrever a EDO na forma
M(x,y)
dx +
N(x,y)
dy = 0:
M(x,y)
dx +
N(x,y)
dy = 0:
Assim identificamos
e
.
e
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Para encontrar a solução geral, procuramos φ(x,y) tal que
Integramos em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Em seguida fazemos
e igualamos a
. Logo
Substituindo em φ e igualando a constante, obtemos a solução implícita.
Resposta
x^2 y^2 - 4y = C