QUESTÃO 1: Verificar se as equações diferenciais abaixo são exatas ou não. Determine também a solução das mesmas em cada caso. (Valor: 1,5 ponto)
x y^2-(2-x^2 y) y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
coloquei em forma exata e, em caso afirmativo,
encontrar a sua solução geral. O conteúdo aqui é
exatidão em equações diferenciais e
vamos precisar testar se ∂M/∂y = ∂N/∂x e achar uma função potencial φ(x,y).

Passo 2

Vamos reescrever a EDO na forma
M(x,y)
dx +
N(x,y)
dy = 0:
x y^2,dx - (2 - x^2 y),dy = 0
Assim identificamos
M(x,y)=x y^2
e
N(x,y)=-(2 - x^2 y) = x^2 y -2.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=2xy
partial Npartial x=2xy
Como ∂M/∂y = ∂N/∂x, a equação é exata.

Passo 4

Para encontrar a solução geral, procuramos φ(x,y) tal que
partial φpartial x=M(x,y)=x y^2
Integramos em relação a x:
φ(x,y)=integral x y^2,dx=tfrac12 x^2y^2 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Em seguida fazemos
partial φpartial y=x^2 y + h'(y)
e igualamos a N(x,y)=x^2 y -2. Logo
h'(y)=-2 implies h(y)=-2y + C1
Substituindo em φ e igualando a constante, obtemos a solução implícita.

Resposta

x^2 y^2 - 4y = C

Exercícios relacionados