1ㅡ Questão:
Uma partícula se movimenta segundo a equação:
\mathbf{r}(t)=<e^{t} \cos t, e^{t} \operatorname{sen} t, e^{t}>
Encontre:
a) O vetor velocidade e a velocidade escalar dessa partícula em qualquer instante t.
b) O vetor tangente unitário, e a equação do plano normal à essa curva no ponto P(1,0,1).
c) O vetor normal unitário, e a equação do plano retificante à essa curva no ponto P(1,0,1).
d) O vetor binormal unitário, e a equação do plano osculante à essa curva no ponto P(1,0,1).

Passo 1

O enunciado dá a trajetória
\mathbf{r}(t)=\bigl\langle e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t,\;e^{t}\bigr\rangle
e pede:
  • (a) o vetor velocidade \mathbf{v}(t) e a velocidade escalar \|\mathbf{v}(t)\|,
  • (b) o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) e a equação do plano normal em P(1,0,1),
  • (c) o vetor normal unitário \mathbf{N}(t) e o plano retificador em P,
  • (d) o vetor binormal unitário \mathbf{B}(t) e o plano osculante em P.
    Para isso precisamos diferenciar componente a componente, normalizar vetores e usar produtos vetoriais. O ponto P(1,0,1) ocorre quando t=0.

Passo 2

Derivando cada componente de \mathbf{r}(t) temos
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t) =\bigl\langle e^{t}(\cos t-\sin t),\;e^{t}(\sin t+\cos t),\;e^{t}\bigr\rangle.
Para a velocidade escalar calculamos
\|\mathbf{v}(t)\| =\sqrt{e^{2t}(\cos t-\sin t)^{2}+e^{2t}(\sin t+\cos t)^{2}+e^{2t}} =\sqrt{3\,e^{2t}} =e^{t}\sqrt{3}.

Passo 3

O vetor tangente unitário é
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{v}(t)}{\|\mathbf{v}(t)\|} =\frac{1}{\sqrt{3}}\bigl\langle\cos t-\sin t,\;\sin t+\cos t,\;1\bigr\rangle.
Em t=0 isso dá
\mathbf{T}(0)=\frac{1}{\sqrt{3}}\langle1,1,1\rangle.
O plano normal à curva em P tem vetor normal \mathbf{T}(0) e equação
\mathbf{T}(0)\cdot\bigl\langle x-1,\;y-0,\;z-1\bigr\rangle=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{3}}\bigl[(x-1)+(y)+(z-1)\bigr]=0
ou, simplificando,
x+y+z=2.

Passo 4

Calculamos \mathbf{N}(t) pela derivada de \mathbf{T}(t) normalizada. Primeiro
\mathbf{T}'(t) =\frac{1}{\sqrt{3}}\bigl\langle -\sin t-\cos t,\;\cos t-\sin t,\;0\bigr\rangle
e seu módulo é \|\mathbf{T}'(t)\|=\sqrt{\tfrac{2}{3}}. Logo
\mathbf{N}(t) =\frac{\mathbf{T}'(t)}{\|\mathbf{T}'(t)\|} =\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl\langle -\sin t-\cos t,\;\cos t-\sin t,\;0\bigr\rangle.
Em t=0 fica
\mathbf{N}(0)=\frac{1}{\sqrt{2}}\langle -1,1,0\rangle.
O plano retificador (plano de T e B) é normal a \mathbf{N}(0) e satisfaz
\mathbf{N}(0)\cdot\langle x-1,y,z-1\rangle=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{2}}\bigl[-(x-1)+y\bigr]=0
ou, simplificando,
-x+y+1=0.

Passo 5

O binormal unitário é
\mathbf{B}(t)=\mathbf{T}(t)\times\mathbf{N}(t).
Em t=0 podemos usar \mathbf{T}(0)=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\langle1,1,1\rangle e \mathbf{N}(0)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\langle-1,1,0\rangle, obtendo
\mathbf{B}(0) =\frac{1}{\sqrt{6}}\langle -1,-1,2\rangle.
O plano osculante (plano de T e N) é normal a \mathbf{B}(0), logo
\mathbf{B}(0)\cdot\langle x-1,y,z-1\rangle=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{6}}\bigl[-(x-1)-(y)+2(z-1)\bigr]=0
ou, simplificando,
x+y-2z+1=0.

Resposta

a)
\displaystyle \mathbf{v}(t)=\bigl\langle e^{t}(\cos t-\sin t),\;e^{t}(\sin t+\cos t),\;e^{t}\bigr\rangle,
\displaystyle \|\mathbf{v}(t)\|=e^{t}\sqrt{3}.
b)
\displaystyle \mathbf{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{3}}\langle\cos t-\sin t,\;\sin t+\cos t,\;1\rangle,
plano normal em P\colon x+y+z=2.
c)
\displaystyle \mathbf{N}(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\langle -\sin t-\cos t,\;\cos t-\sin t,\;0\rangle,
plano retificador em P\colon -x+y+1=0.
d)
\displaystyle \mathbf{B}(t)=\mathbf{T}(t)\times\mathbf{N}(t),\quad \mathbf{B}(0)=\frac{1}{\sqrt{6}}\langle -1,-1,2\rangle,
plano osculante em P\colon x+y-2z+1=0.

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