1ㅡ Questão:
Uma partícula se movimenta segundo a equação:
Encontre:
a) O vetor velocidade e a velocidade escalar dessa partícula em qualquer instante
.
b) O vetor tangente unitário, e a equação do plano normal à essa curva no ponto
.
c) O vetor normal unitário, e a equação do plano retificante à essa curva no ponto
.
d) O vetor binormal unitário, e a equação do plano osculante à essa curva no ponto
.
Uma partícula se movimenta segundo a equação:
a) O vetor velocidade e a velocidade escalar dessa partícula em qualquer instante
b) O vetor tangente unitário, e a equação do plano normal à essa curva no ponto
c) O vetor normal unitário, e a equação do plano retificante à essa curva no ponto
d) O vetor binormal unitário, e a equação do plano osculante à essa curva no ponto
Passo 1
O enunciado dá a trajetória
e pede:
- (a) o vetor velocidade
e a velocidade escalar , - (b) o vetor tangente unitário
e a equação do plano normal em , - (c) o vetor normal unitário
e o plano retificador em , - (d) o vetor binormal unitário
e o plano osculante em .
Para isso precisamos diferenciar componente a componente, normalizar vetores e usar produtos vetoriais. O pontoocorre quando .
Passo 2
Derivando cada componente de
temos
Para a velocidade escalar calculamos
Passo 3
O vetor tangente unitário é
Em
isso dá
O plano normal à curva em
tem vetor normal
e equação
ou, simplificando,
Passo 4
Calculamos
pela derivada de
normalizada. Primeiro
e seu módulo é
. Logo
Em
fica
O plano retificador (plano de T e B) é normal a
e satisfaz
ou, simplificando,
Passo 5
O binormal unitário é
Em
podemos usar
e
, obtendo
O plano osculante (plano de T e N) é normal a
, logo
ou, simplificando,
Resposta
a)
,
b)
plano normal em
c)
plano retificador em
d)
plano osculante em
b)
plano normal em
c)
plano retificador em
d)
plano osculante em