Questão 9 Uma mudança de variável conveniente transforma a integral indefinida \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}} d x em
(A) \int \frac{\cos ^{2} u}{\sin u} d u
(B) \int \operatorname{sec} ^{3} u d u
(C) \int \frac{\tan ^{2} u}{\operatorname{sec} u} d u
(D) \int \tan ^{2} u \cdot \operatorname{sec} u d u
(E) \int \cos ^{2} u d u

Passo 1

O enunciado pede para identificar, por meio de uma mudança de variável, em qual das alternativas abaixo a integral
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx
se transforma. O conteúdo é substituição trigonométrica para expressões do tipo \sqrt{1+x^2}, e vamos precisar escolher x em função de um ângulo u, calcular dx e reescrever \sqrt{1+x^2}.

Passo 2

Escolhemos a substituição trigonométrica clássica para \sqrt{1+x^2}:
x = \tan u,\quad dx = \operatorname{sec}^2 u\,du,\quad \sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+\tan^2 u}=\operatorname{sec} u.

Passo 3

Substituindo no integrando:
\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}\,dx =\frac{\tan^2 u}{\operatorname{sec} u}\,\bigl(\operatorname{sec}^2 u\,du\bigr) =\tan^2 u\;\operatorname{sec} u\,du.
Portanto a integral vira
\int \tan^2 u\;\operatorname{sec} u\,du.

Passo 4

Comparando com as opções dadas, vemos que corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D)

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