Questão 8 Sobre a concavidade da função f(x)=x^{3}-6 x+71, é correto afirmar que:
  • f tem concavidade para cima em ] 0,+\infty[.
B f tem concavidade para baixo em ] \sqrt{2},+\infty.
[C f tem concavidade para baixo em ] 0,+\infty[.
D f tem concavidade para baixo em ] \sqrt{3},+\infty [.
E f tem concavidade para cima em ] \sqrt{2},+\infty.

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função
f(x)=x^{3}-6x+71
é côncava para cima ou para baixo. O conteúdo necessário é o teste da segunda derivada: calcular f', depois f'', e examinar o sinal de f''(x).

Passo 2

Calculamos as derivadas:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-6x+71\bigr)=3x^{2}-6,
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-6\bigr)=6x.
Sabemos que se f''(x)>0 então f é côncava para cima, e se f''(x)<0 então f é côncava para baixo.

Passo 3

Analisando o sinal de f''(x)=6x:
  • Para x>0, 6x>0, logo f é côncava para cima em ]0,+\infty[.
  • Para x<0, 6x<0, logo f é côncava para baixo em (-\infty,0[.

Resposta

A f tem concavidade para cima em ]0,+\infty[.

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