3^{\underline{a}} Questão:

Calcule a curvatura e o raio de curvatura da curva plana y(x)=\cos (\sqrt{2} x), na origem.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva plana y(x)=\cos(\sqrt{2}\,x) e pede para calcular a curvatura \kappa e o raio de curvatura R na origem x=0. O conteúdo é geometria diferencial de curvas no plano, usando derivadas e a fórmula de curvatura para uma curva na forma explícita y=y(x).

Passo 2

A fórmula de curvatura de uma curva y=y(x) é dada por
\kappa(x) \;=\;\frac{\bigl|y''(x)\bigr|}{\bigl(1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de y(x)=\cos(\sqrt{2}\,x).
A derivada primeira é
y'(x) = -\sin(\sqrt{2}\,x)\,\frac{d}{dx}(\sqrt{2}\,x) = -\sqrt{2}\,\sin(\sqrt{2}\,x).
A derivada segunda é
y''(x) = -\sqrt{2}\,\cos(\sqrt{2}\,x)\,\frac{d}{dx}(\sqrt{2}\,x) = -2\,\cos(\sqrt{2}\,x).

Passo 4

Agora avaliamos em x=0:
y'(0) = -\sqrt{2}\,\sin(0) = 0, \qquad y''(0) = -2\,\cos(0) = -2.

Passo 5

Substituindo em \kappa(x) temos
\kappa(0) = \frac{\bigl|y''(0)\bigr|}{\bigl(1 + (y'(0))^2\bigr)^{3/2}} = \frac{\bigl|-2\bigr|}{\bigl(1 + 0^2\bigr)^{3/2}} = \frac{2}{1} = 2.

Passo 6

O raio de curvatura é o inverso da curvatura:
R(0) = \frac{1}{\kappa(0)} = \frac{1}{2}.

Resposta

A curvatura na origem é \kappa(0)=2 e o raio de curvatura é R(0)=\tfrac{1}{2}.

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