4^{\underline{a}} Questão:

Determine a equação de uma parábola qualquer, no plano x y, que tenha curvatura 2 na origem.

Passo 1

O enunciado pede uma parábola no plano xy cuja curvatura na origem seja 2. O conteúdo necessário é a fórmula da curvatura de uma curva dada por y=f(x):
\kappa(x)=\frac{\bigl|f''(x)\bigr|}{\bigl(1+[f'(x)]^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 2

Escolhemos a forma genérica de uma parábola com eixo vertical:
y = a\,x^{2} + b\,x + c.

Passo 3

Para que a parábola passe pela origem e tenha tangente horizontal ali, impomos
f(0)=c=0 \quad\text{e}\quad f'(0)=b=0.
Logo a equação simplifica para
y = a\,x^{2}.

Passo 4

Calculamos as derivadas dessa função:
f'(x)=2a\,x, \quad f'(0)=0, \quad f''(x)=2a, \quad f''(0)=2a.
Substituindo em \kappa(0),
\kappa(0)=\frac{\bigl|2a\bigr|}{\bigl(1+0^{2}\bigr)^{3/2}} =\bigl|2a\bigr|.

Passo 5

Queremos \kappa(0)=2, isto é,
\bigl|2a\bigr|=2 \quad\Longrightarrow\quad |a|=1 \quad\Longrightarrow\quad a=\pm1.
Pode-se então escolher, por exemplo, a=1.

Resposta

Uma opção simples de parábola com curvatura 2 na origem é
y = x^{2}.

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