1ㅇ) Questão: (2,0 pontos)
Encontre os níveis de energia de um oscilador harmônico isotrópico tridimensional,
, resolvendo a equação de onda em coordenadas esféricas. Qual é a degenerescência de cada nível?
Encontre os níveis de energia de um oscilador harmônico isotrópico tridimensional,
Passo 1
O enunciado pede os níveis de energia de um oscilador harmônico quântico isotrópico em três dimensões com potencial
e a degenerescência de cada nível. O conteúdo envolve a equação de Schr"odinger independente do tempo em coordenadas esféricas, separação de variáveis em parte radial e angular, e a quantização pela condição de normalização das soluções em termos de polinômios de Laguerre associados.
Passo 2
A equação de Schr"odinger independente do tempo é
Em coordenadas esféricas se faz
. A parte angular satisfaz
com
e
.
Passo 3
A parte radial
satisfaz
Fazendo
e definindo
, obtém-se uma equação tipo Laguerre cujas soluções normais anulam a série em polinômios de Laguerre associados quando
onde
é o número quântico radial.
Passo 4
É comum definir o número quântico principal
de modo que cada nível de energia é
com
.
Passo 5
Cada valor de
tem degenerescência
(valores de
). Para um dado
, os pares
satisfazem
ou
, e
Resposta
Energia:
Degenerescência de cada nível
: