1ㅇ) Questão: (2,0 pontos)
Encontre os níveis de energia de um oscilador harmônico isotrópico tridimensional, V(r)=\frac{1}{2} K r^{2}, resolvendo a equação de onda em coordenadas esféricas. Qual é a degenerescência de cada nível?

Passo 1

O enunciado pede os níveis de energia de um oscilador harmônico quântico isotrópico em três dimensões com potencial
V(r)=\tfrac{1}{2} K r^2
e a degenerescência de cada nível. O conteúdo envolve a equação de Schr"odinger independente do tempo em coordenadas esféricas, separação de variáveis em parte radial e angular, e a quantização pela condição de normalização das soluções em termos de polinômios de Laguerre associados.

Passo 2

A equação de Schr"odinger independente do tempo é
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + \tfrac{1}{2} K r^2\,\Psi = E\,\Psi.
Em coordenadas esféricas se faz \Psi(r,\theta,\varphi)=R(r)\,Y_{\ell}^m(\theta,\varphi). A parte angular satisfaz
\hat L^2 Y_{\ell}^m=\ell(\ell+1)\hbar^2\,Y_{\ell}^m
com \ell=0,1,2,\dots e m=-\ell,\dots,\ell.

Passo 3

A parte radial R(r) satisfaz
-\frac{\hbar^2}{2m}\biggl[\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\Bigl(r^2\frac{dR}{dr}\Bigr)-\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}R\biggr] +\tfrac12K r^2R = ER.
Fazendo u(r)=r\,R(r) e definindo \omega=\sqrt{K/m}, obtém-se uma equação tipo Laguerre cujas soluções normais anulam a série em polinômios de Laguerre associados quando
E_{n_r,\ell} =\hbar\omega\Bigl(2n_r+\ell+\tfrac32\Bigr),
onde n_r=0,1,2,\dots é o número quântico radial.

Passo 4

É comum definir o número quântico principal
N=2n_r+\ell,
de modo que cada nível de energia é
E_N=\hbar\omega\Bigl(N+\tfrac32\Bigr),
com N=0,1,2,\dots.

Passo 5

Cada valor de (n_r,\ell) tem degenerescência 2\ell+1 (valores de m). Para um dado N, os pares (n_r,\ell) satisfazem \ell=N,N-2,\dots,0 ou 1, e
g_N=\sum_{k=0}^{\lfloor N/2\rfloor}\bigl[2\,(N-2k)+1\bigr] =\frac{(N+1)(N+2)}2.

Resposta

Energia:
E_N=\hbar\omega\Bigl(N+\tfrac32\Bigr),\quad N=0,1,2,\dots
Degenerescência de cada nível N:
g_N=\frac{(N+1)(N+2)}2.

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