13 (H65) - Uma diferença de potencial V é aplicada a um fio de seção reta A, comprimento L e resistividade \rho. Estamos interessados em mudar a diferença de potencial aplicada e esticar o fio para que a potência dissipada seja multiplicada por 36 e a corrente seja multiplicada por 3. Supondo que a massa específica do fio permaneça a mesma, determine (a) a razão entre o novo comprimento L’ e L, (b) a razão entre a nova seção reta A’ e A. R: (a) L’ = 2L; (b) \mathrm{A}^{\prime}=0,5 \mathrm{~A}.

Passo 1

O enunciado diz que um fio de resistividade \rho, comprimento L e área de seção reta A está submetido a uma tensão V, gerando corrente I e potência dissipada P. Vamos alterar a tensão para V' e esticar o fio para comprimento L' e área A', de modo que
\;I' = 3I e P' = 36P.
Como a densidade do material é constante, a massa (e portanto o volume A\,L) não muda. Queremos achar \tfrac{L'}{L} e \tfrac{A'}{A}.

Passo 2

A resistência original é
R = \frac{\rho\,L}{A}
e a nova resistência é
R' = \frac{\rho\,L'}{A'}.
Também sabemos que
I = \frac{V}{R}, \quad I' = \frac{V'}{R'}, \quad P = I^2\,R, \quad P' = I'^2\,R'.

Passo 3

Usando I' = 3I e P' = 36P em
P' = I'^2\,R' \quad\text{e}\quad P = I^2\,R
temos
\frac{P'}{P} = \frac{I'^2\,R'}{I^2\,R} = \frac{(3I)^2\,R'}{I^2\,R} = 9\,\frac{R'}{R} \stackrel{!}{=}36 \;\Longrightarrow\; \frac{R'}{R}=4.

Passo 4

Substituindo R e R' em \tfrac{R'}{R}=4 resulta em
\frac{R'}{R} = \frac{\tfrac{\rho\,L'}{A'}}{\tfrac{\rho\,L}{A}} = \frac{L'}{L}\,\frac{A}{A'} = 4.
Como o volume é conservado ( A\,L = A'\,L'), segue
\frac{A}{A'} = \frac{L'}{L}.
Logo
\frac{R'}{R} = \frac{L'}{L}\,\frac{L'}{L} = \Bigl(\frac{L'}{L}\Bigr)^{2} =4 \;\Longrightarrow\; \frac{L'}{L}=2.

Passo 5

De \tfrac{A}{A'}=\tfrac{L'}{L}=2 obtemos
\frac{A'}{A}=\tfrac12.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{L'}{L}=2
(b) \displaystyle \frac{A'}{A}=\tfrac12

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