1ª Questão ( 8 pts ) Calcule os seguintes limites
lim x -infty 5 x^7+3 x^6+4 x2 x^5+x^3 e lim x +infty 5 x^7+3 x^6+4 x2 x^5+x^3

Passo 1

Então, resumindo o exercício: temos a função racional
f(x)=5x^7 + 3x^6 + 4x2x^5 + x^3
e queremos os limites quando x to -infty e quando x to +infty.
Conteúdo: limites no infinito de funções racionais.
O que vamos precisar: comparar graus dos polinômios, dividir numerador e denominador pela maior potência de x (aqui x^5) e usar que termos com potência negativa de x viram zero no infinito.

Passo 2

Dividimos tudo por x^5:
5x^7 + 3x^6 + 4x2x^5 + x^3 = 5x^7/x^5 + 3x^6/x^5 + 4x/x^52x^5/x^5 + x^3/x^5 = 5x^2 + 3x + 4x^-42 + x^-2
Aqui usamos que x^7/x^5 = x^2, x^6/x^5 = x e x/x^5 = x^-4. Termos com x^-n tendem a zero quando xtopminfty.

Passo 3

Para x to +infty:
  • x^2 to +infty
  • x to +infty (cresce menos que x^2)
  • x^-4,x^-2 to 0
    Então
5x^2 + 3x + 4x^-42 + x^-2 approx 5x^2 + 3x2
O termo dominante é 5x^2, logo tfrac5x^22to +infty.
Portanto
limxto+infty5x^7 + 3x^6 + 4x2x^5 + x^3 = +infty

Passo 4

Para x to -infty:
  • x^2 to +infty (pois quadrado é sempre ≥0)
  • x to -infty (ordem menor que x^2)
  • x^-4,x^-2 to 0
    De novo
5x^2 + 3x + 4x^-42 + x^-2 approx 5x^2 + 3x2
Apesar de 3x ser negativo, 5x^2 domina e faz o numerador ir para +infty. Dividindo por 2 continua +infty.
Logo
limxto-infty5x^7 + 3x^6 + 4x2x^5 + x^3 = +infty

Resposta

limxto -infty5x^7 + 3x^6 + 4x2x^5 + x^3 = +infty e limxto +infty5x^7 + 3x^6 + 4x2x^5 + x^3 = +infty

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