Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
(\left(x-y{3}+y{2} \operatorname{sen} x\right) d x=\left(3 x y^{2}+2 y \cos x\right) d y)
(\left(x-y{3}+y{2} \operatorname{sen} x\right) d x=\left(3 x y^{2}+2 y \cos x\right) d y)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata. Se for, precisamos encontrar uma função potencial
tal que
onde reescrevemos a equação como
Passo 2
Identificando
calculamos
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Existe, portanto,
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Derivando
em relação a
e igualando a
:
Daqui
, logo
(constante).
Passo 5
A solução geral implícita da equação diferencial é