Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
(\left(x-y{3}+y{2} \operatorname{sen} x\right) d x=\left(3 x y^{2}+2 y \cos x\right) d y)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(x - y^3 + y^2sin xr),dx ;=;l(3xy^2+2ycos xr),dy
e pede para verificar se ela é exata. Se for, precisamos encontrar uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M(x,y) e partial Phipartial y=N(x,y)
onde reescrevemos a equação como
M(x,y),dx - N(x,y),dy=0

Passo 2

Identificando
M(x,y)=x - y^3 + y^2sin x, N(x,y)=-(3xy^2+2ycos x),
calculamos
partial Mpartial y =-3y^2+2ysin x, partial Npartial x =partialpartial xl(-3xy^2-2ycos xr) =-3y^2+2ysin x
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Existe, portanto, Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = x - y^3 + y^2sin x
Integramos em relação a x:
Phi(x,y) =integrall(x - y^3 + y^2sin xr),dx =12x^2-x,y^3-y^2cos x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Derivando Phi em relação a y e igualando a N(x,y):
partial Phipartial y =-3xy^2-2ycos x + h'(y) overset!= -3xy^2-2ycos x
Daqui h'(y)=0, logo h(y)=C (constante).

Passo 5

A solução geral implícita da equação diferencial é
12x^2-x,y^3-y^2cos x=C

Resposta

12x^2-x,y^3-y^2cos x=C

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