Para cada uma das seguintes expressões encontrar os valores de x para os quais são soluções.
(i) |x+3|+|x-2|<2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
|x+3| + |x-2| < 2
Isso cai no conteúdo de inequações com valor absoluto, em que usamos a definição
|u| = u, & u>= 0, -u, & u<0
para cada expressão dentro do módulo.

Passo 2

Os pontos em que os sinais de x+3 e x-2 mudam são x=-3 e x=2.
Vamos, portanto, analisar separadamente os três intervalos:
  1. x<-3,
  2. -3<= x<2,
  3. x>= 2.

Passo 3

Caso x<-3:
Aqui x+3<0 e x-2<0, então
|x+3|+|x-2| = -(x+3) ;+; -(x-2) = -2x -1
A inequação fica
-2x - 1 < 2 Longrightarrow -2x < 3 Longrightarrow x > -tfrac32
Mas isso contradiz x<-3. Logo, não há solução nesse caso.

Passo 4

Caso -3<= x<2:
Aqui x+3>=0 e x-2<0, então
|x+3|+|x-2| = (x+3) + -(x-2) = 5
A inequação vira
5 < 2,
que é impossível. Logo, não há solução nesse intervalo.

Passo 5

Caso x>= 2:
Aqui x+3>=0 e x-2>=0, então
|x+3|+|x-2| = (x+3) + (x-2) = 2x+1
A inequação fica
2x + 1 < 2 Longrightarrow 2x < 1 Longrightarrow x < tfrac12
Isto contradiz x>=2. Portanto, também não há solução aqui.

Resposta

A inequação não admite solução real.
Solução: emptyset.

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