1ª Questão ( 8 pts ) Calcule os seguintes limites
lim x 0 e^(2+sen x) sen xx cos x

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra calcular
limxto 0e^(2+sin x),sin xxcos x
Isso é assunto de limites de funções, envolvendo:
  • Limites notáveis, em especial limxto0sin xx=1.
  • Continuidade da função exponencial e^x.
  • Álgebra de limites (produto de limites = limite de produto).
  • Propriedade e^a+b=e^a,e^b.

Passo 2

Primeiro, dá pra usar e^2+sin x=e^2cdot e^sin x (isso vem direto da regra e^a+b=e^a e^b).

Passo 3

Substituindo na fração, a gente tem
e^(2+sin x),sin xxcos x =e^2;e^sin x;sin xxcos x = e^2;gl(e^sin xgr);sin xxcos x
Como é produto, pelo teorema de álgebra de limites:
limxto0l[e^2cdot e^sin xcdotsin xxcos xr] = e^2;l[limxto0e^sin xr];l[limxto0sin xxcos xr]

Passo 4

Agora só falta achar cada limite:
  1. limxto0e^sin x=e^lim sin x=e^0=1 (continuidade de e^x).
  2. limxto0sin xxcos x =l(limxto0sin xxr);l(limxto01cos xr) =1cdot11=1.
Juntando tudo:
e^2;times1;times1 = e^2

Resposta

e^2

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