Determine o conjunto de geradores para o subespaço vetorial W=(x, y, z) in R^3 ; x+2 z=0.

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço
W = (x,y,z)inR^3 mid x + 2z = 0
Aqui o conteúdo é subespaços de R^3 definidos por equações lineares. Como há uma equação independente em três variáveis, espera-se que dim W = 3 - 1 = 2. Logo precisamos de dois vetores que gerem W.

Passo 2

Para parametrizar W, reescrevemos a condição
x + 2z = 0
como
x = -2z
Podemos então tomar y e z como parâmetros livres. Seja s = y e t = z. Então
(x,y,z) = (-2t,,s,,t)
Colocando em forma de combinação linear:
(-2t,,s,,t) = s,(0,1,0) + t,(-2,0,1)

Passo 3

Concluímos que todo vetor de W é combinação linear de
(0,1,0) e (-2,0,1)

Resposta

Um conjunto de geradores de W é
, (0,1,0),;(-2,0,1)

Exercícios relacionados