1́ㅡㄹ Questão (8 pts) Calcule os seguintes limites
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o cálculo do limite:
A matéria que vamos usar envolve limites, funções trigonométricas como seno e tangente, e algumas propriedades básicas de limites. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como as funções seno e tangente se comportam perto de zero e aplicar algumas técnicas de simplificação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que
, então podemos reescrever o numerador:
Agora, nossa expressão fica:
Passo 3
Vamos separar os termos para facilitar o cálculo:
Sabemos que, quando
se aproxima de 0,
se aproxima de
. Portanto,
tende a 1. Assim, podemos focar no primeiro fator:
Passo 4
Para simplificar
, vamos reescrever
como
:
Agora, separamos os termos:
Mas isso pode complicar, então vamos usar outra abordagem.
Passo 5
Sabemos que, para
próximo de 0:
e
Aplicando isso, temos:
Passo 6
Substituindo essas aproximações na nossa expressão original:
Passo 7
Portanto, o limite é:
Resposta
O limite é
.