1́ㅡㄹ Questão (8 pts) Calcule os seguintes limites
(a) lim x 0 tan ^2(2 x)x sen(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o cálculo do limite:
limx 0 tan^2(2x)x cdot sin(3x)
A matéria que vamos usar envolve limites, funções trigonométricas como seno e tangente, e algumas propriedades básicas de limites. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como as funções seno e tangente se comportam perto de zero e aplicar algumas técnicas de simplificação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que tan(2x) = sin(2x)cos(2x), então podemos reescrever o numerador:
tan^2(2x) = (sin(2x)cos(2x))^2 = sin^2(2x)cos^2(2x)
Agora, nossa expressão fica:
sin^2(2x)x cdot cos^2(2x) cdot sin(3x)

Passo 3

Vamos separar os termos para facilitar o cálculo:
sin^2(2x)x cdot sin(3x) cdot 1cos^2(2x)
Sabemos que, quando x se aproxima de 0, cos(2x) se aproxima de cos(0) = 1. Portanto, 1cos^2(2x) tende a 1. Assim, podemos focar no primeiro fator:
sin^2(2x)x cdot sin(3x)

Passo 4

Para simplificar sin^2(2x)x cdot sin(3x), vamos reescrever sin^2(2x) como (sin(2x))^2:
(sin(2x))^2x cdot sin(3x)
Agora, separamos os termos:
( sin(2x)2x )^2 cdot 4x^2x cdot sin(3x)
Mas isso pode complicar, então vamos usar outra abordagem.

Passo 5

Sabemos que, para x próximo de 0:
sin(kx) approx kx
e
tan(kx) approx kx
Aplicando isso, temos:
sin(2x) approx 2x
sin(3x) approx 3x
cos(2x) approx 1

Passo 6

Substituindo essas aproximações na nossa expressão original:
tan^2(2x)x cdot sin(3x) approx (2x)^2x cdot 3x = 4x^23x^2 = 43

Passo 7

Portanto, o limite é:
limx 0 tan^2(2x)x cdot sin(3x) = 43

Resposta

O limite é 43.

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