Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo
as retas
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para calcular a integral
onde é a região no primeiro quadrante limitada pelo círculo
e pelas retas
e
.
Isso é uma aplicação de integrais duplas usando coordenadas polares. Para resolver, a gente vai usar as mudanças
onde
Isso é uma aplicação de integrais duplas usando coordenadas polares. Para resolver, a gente vai usar as mudanças
Passo 2
Primeiro, vamos descrever
em termos de
e
:
- A reta
vira . - A reta
vira , ou seja . - O círculo
vira .
Logoe .
Também trocamos a função:.
Então o integrando fica
Passo 3
Agora montamos a integral em polares:
Como
não depende de
, dá para separar:
Passo 4
Só falta integrar em
: