Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaR y d A, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2+y^2=9 e as retas y=x e y=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular a integral
integral duplaR y ,dA
onde R é a região no primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2+y^2=9 e pelas retas y=0 e y=x.
Isso é uma aplicação de integrais duplas usando coordenadas polares. Para resolver, a gente vai usar as mudanças
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta

Passo 2

Primeiro, vamos descrever R em termos de r e theta:
  • A reta y=0 vira theta=0.
  • A reta y=x vira tantheta=1, ou seja theta=pi/4.
  • O círculo x^2+y^2=9 vira r=3.
    Logo 0<=theta<=pi/4 e 0<= r<=3.
    Também trocamos a função: y = rsintheta.
    Então o integrando fica
y,dA = l(rsinthetar)l(r,dr,dthetar) = r^2,sintheta,dr,dtheta

Passo 3

Agora montamos a integral em polares:
integral duplaR y,dA =integraltheta=0^pi/4integralr=0^3r^2sintheta,dr,dtheta
Como sintheta não depende de r, dá para separar:
integral0^pi/4sintheta l(integral0^3r^2drr)dtheta =integral0^pi/4sintheta;l[tfracr^33r]0^3,dtheta =integral0^pi/49,sintheta,dtheta

Passo 4

Só falta integrar em theta:
integral0^pi/49sintheta,dtheta =9l[-costhetar]0^pi/4 =9l(-cos(tfracpi4)+cos0r) =9l(-tfracraiz22+1r) =9l(1-tfracraiz22r)

Resposta

9l(1-tfracraiz22r)

Exercícios relacionados