(2,0 pontos) Encontre a solução geral da EDO
y^prime+2 y=y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial y' + 2y = y^2 . Esse tipo de equação é do primeiro grau e envolve uma função não linear por causa do termo y^2 . Para resolver, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e frações parciais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar y' :
y' = y^2 - 2y
Isso deixa a equação na forma dydx = y^2 - 2y .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e x . Para isso, colocamos todos os termos com y de um lado e x do outro:
1y(y - 2) , dy = dx
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 4

A integral do lado esquerdo envolve uma fração complicada, então vamos usar frações parciais para decompor 1y(y - 2) :
1y(y - 2) = Ay + By - 2
Multiplicando ambos os lados por y(y - 2) para encontrar A e B :
1 = A(y - 2) + By
Escolhendo valores estratégicos para y :
  • Se y = 0 :
1 = A(-2) Rightarrow A = -12
  • Se y = 2 :
1 = B(2) Rightarrow B = 12
Então, a decomposição fica:
1y(y - 2) = -12y + 12(y - 2)

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral:
integral ( -12y + 12(y - 2) ) dy = integral dx
Integrando cada termo:
-12 ln|y| + 12 ln|y - 2| = x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
ln | y - 2y |^12 = x + C
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o expoente:
ln | y - 2y | = 2x + C'
Onde C' = 2C .

Passo 7

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
y - 2y = Ke^2x
Onde K = e^C' é uma nova constante.

Passo 8

Agora, resolvemos para y :
y - 2 = K e^2x y
y (1 - K e^2x) = 2
y = 21 - K e^2x
Podemos também escrever K como -C para simplificar:
y = 21 + C e^2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 21 + C e^2x
onde C é uma constante real.

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