Beleza, vamos resolver essa equação diferencial . Esse tipo de equação é do primeiro grau e envolve uma função não linear por causa do termo . Para resolver, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e frações parciais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar :
Isso deixa a equação na forma .
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, colocamos todos os termos com de um lado e do outro:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 4
A integral do lado esquerdo envolve uma fração complicada, então vamos usar frações parciais para decompor :
Multiplicando ambos os lados por para encontrar e :
Escolhendo valores estratégicos para :
Se :
Se :
Então, a decomposição fica:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral:
Integrando cada termo:
Onde é a constante de integração.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o expoente:
ln | y - 2y | = 2x + C'
Onde C' = 2C .
Passo 7
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
y - 2y = Ke^2x
Onde K = e^C' é uma nova constante.
Passo 8
Agora, resolvemos para y :
y - 2 = K e^2x y
y (1 - K e^2x) = 2
y = 21 - K e^2x
Podemos também escrever K como -C para simplificar: