2^a Questão (8 pts) Considere a função g definida, para x neq 0, pela expressão
g(x)=x e^x-ex-1
(a) Calcule lim x 1 g(x) (sugestão: entenda esse limite como uma derivada).
(b) É possível atribuir um valor a g(1) de forma que g seja contínua em x=1 ? Em caso afirmativo, quanto deve valer g(1) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função g(x) = x e^x - ex - 1 definida para todo x neq 0 . A questão está dividida em duas partes:
a) Calcular o limite de g(x) quando x se aproxima de 1.
b) Verificar se dá para definir g(1) de modo que a função seja contínua em x = 1 .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites, derivadas e continuidade de funções.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Queremos encontrar limx to 1 g(x) = limx to 1 x e^x - ex - 1 .
Primeiro, vamos tentar substituir x = 1 diretamente:
1 cdot e^1 - e1 - 1 = e - e0 = 00
Essa forma 00 é indeterminada, o que significa que precisamos de outra abordagem para calcular o limite.

Passo 3

A sugestão é interpretar esse limite como uma derivada. Vamos lembrar que a derivada de uma função f(x) em x = a é definida por:
f'(a) = limx to a f(x) - f(a)x - a
Comparando com o nosso limite, vemos que podemos considerar f(x) = x e^x e a = 1 . Então,
limx to 1 x e^x - ex - 1 = f'(1)

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de f(x) = x e^x :
Usando a regra do produto:
f'(x) = ddx(x) cdot e^x + x cdot ddx(e^x) = 1 cdot e^x + x cdot e^x = e^x(1 + x)

Passo 5

Avaliar a derivada em x = 1 :
f'(1) = e^1(1 + 1) = e cdot 2 = 2e
Portanto,
limx to 1 g(x) = 2e

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber se é possível definir g(1) de modo que a função g seja contínua em x = 1 .
A continuidade em um ponto a exige que:
limx to a g(x) = g(a)
Já calculamos que limx to 1 g(x) = 2e . Então, para que g seja contínua em x = 1 , precisamos que:
g(1) = 2e

Resposta

a) limx 1 g(x) = 2e
b) Sim, é possível. Deve-se definir g(1) = 2e para que g seja contínua em x = 1 .

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