Questão (8 pts) Considere a função
definida, para
, pela expressão
(a) Calcule
(sugestão: entenda esse limite como uma derivada).
(b) É possível atribuir um valor a
de forma que
seja contínua em
? Em caso afirmativo, quanto deve valer
?
(b) É possível atribuir um valor a
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida para todo
. A questão está dividida em duas partes:
a) Calcular o limite de
quando
se aproxima de 1.
b) Verificar se dá para definir
de modo que a função seja contínua em
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites, derivadas e continuidade de funções.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Queremos encontrar
.
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente:
Essa forma
é indeterminada, o que significa que precisamos de outra abordagem para calcular o limite.
Passo 3
A sugestão é interpretar esse limite como uma derivada. Vamos lembrar que a derivada de uma função
em
é definida por:
Comparando com o nosso limite, vemos que podemos considerar
e
. Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
:
Usando a regra do produto:
Passo 5
Avaliar a derivada em
:
Portanto,
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber se é possível definir
de modo que a função
seja contínua em
.
A continuidade em um ponto
exige que:
Já calculamos que
. Então, para que
seja contínua em
, precisamos que:
Resposta
a)
b) Sim, é possível. Deve-se definir
para que
seja contínua em
.