1¹) Seja W=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} ; x-y=0\right. e \left.x+2 y+z=0\right\} um subespaço de V=\mathbb{R}^{4} determine a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço \displaystyle W=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-y=0,\;x+2y+z=0\}.
Este é um problema de Álgebra Linear: queremos a dimensão do espaço solução de um sistema homogêneo de duas equações lineares em quatro incógnitas.

Passo 2

Escrevemos as equações e resolvemos para algumas variáveis em função de variáveis livres:
\begin{cases} x - y = 0,\\\ x + 2y + z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=y. Substituindo em x+2y+z=0 obtemos
y + 2y + z = 3y + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = -3y.

Passo 3

Identificamos as variáveis livres. Podemos tomar
y = t,\quad w = s,
onde t,s\in\mathbb{R}. Então
x = y = t, \quad z = -3t, \quad w = s.

Passo 4

Escrevemos um vetor genérico de W em função de t e s:
(x,y,z,w) = (t,t,-3t,s) = t\,(1,1,-3,0)\;+\;s\,(0,0,0,1).
Os vetores (1,1,-3,0) e (0,0,0,1) formam uma base de W.

Passo 5

Como há dois parâmetros livres t e s, a dimensão de W é igual ao número de vetores dessa base, isto é, 2.

Resposta

A dimensão de W é 2.

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