O4: Se a matriz de um operador linear F do R^{3} em relacão á base canônica é \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right) e se H=I+F+Z F^{2} determine a matrie de H em relação á base canônica do \mathbb{R}^{3}. Passo 1O enunciado dá um operador linear F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é F = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} e define H = I + F + Z\,F^2. O que precisamos é usar operações de soma, produto escalar e multiplicação de matrizes para achar a matriz de H na base canônica. Passo 2Para calcular F^2, multiplicamos a matriz de F por si mesma: F^2 = F\cdot F = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Passo 3Agora somamos a identidade I com F: I + F = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. Passo 4Finalmente, H = I + F + Z\,F^2. Basta somar a matriz de I+F com Z vezes a de F^2: H = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} + Z\, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+Z & 1+2Z & 0\\\\ 0 & 2+Z & 0\\\\ 0 & 1 & Z \end{pmatrix}. Resposta \begin{pmatrix} 2+Z & 1+2Z & 0\\\\ 0 & 2+Z & 0\\\\ 0 & 1 & Z \end{pmatrix} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQuestão 25: Considere as matrizes do exercício (24). Determine os valores de \lambda \in \mathbb{R} tais que existe X= \left[\begin{array}{lll}x_{1} & x_{2} & x_{3}\end{array}\right]^{\top} \neq \overline{0} que satisfaz A X=\lambda X. Em seguida, considerando os valores de \lambda encontrados, encontre a solução geral do sistema A X=\lambda X. Questão 21: Calcule \operatorname{det}(A) onde A=\left[\begin{array}{ccccc}3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 19 & 18 & 0 & 0 & 0 \\\\ -6 & \pi & -5 & 0 & 0 \\\\ 4 & \sqrt{2} & \sqrt{3} & 0 & 0 \\\\ 8 & 3 & 5 & 6 & -1\end{array}\right] 1¹) Seja W=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} ; x-y=0\right. e \left.x+2 y+z=0\right\} um subespaço de V=\mathbb{R}^{4} determine a dimensão de W. 2^{\underline{\mathrm{a}}} ) Seja W=\left\{p \in \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) ; p^{\prime \prime}(t)=0, \forall t \in \mathbb{R}\right\} um subespaço de V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) determine a dimensão de W.