O4: Se a matriz de um operador linear F do R^{3} em relacão á base canônica é
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right)
e se H=I+F+Z F^{2} determine a matrie de H em relação á base canônica do \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
F = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}
e define H = I + F + Z\,F^2. O que precisamos é usar operações de soma, produto escalar e multiplicação de matrizes para achar a matriz de H na base canônica.

Passo 2

Para calcular F^2, multiplicamos a matriz de F por si mesma:
F^2 = F\cdot F = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora somamos a identidade I com F:
I + F = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Finalmente, H = I + F + Z\,F^2. Basta somar a matriz de I+F com Z vezes a de F^2:
H = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} + Z\, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+Z & 1+2Z & 0\\\\ 0 & 2+Z & 0\\\\ 0 & 1 & Z \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} 2+Z & 1+2Z & 0\\\\ 0 & 2+Z & 0\\\\ 0 & 1 & Z \end{pmatrix}

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