2^{\underline{\mathrm{a}}} ) Seja W=\left\{p \in \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) ; p^{\prime \prime}(t)=0, \forall t \in \mathbb{R}\right\} um subespaço de V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) determine a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço
W = \{\,p\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \mid p''(t)=0,\;\forall t\in\mathbb{R}\}
do espaço V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
Para isso, vamos lembrar que polinômios em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) têm forma geral com três coeficientes, e usar a condição p''(t)=0 para determinar quantos graus de liberdade (dimensão) sobram.

Passo 2

Seja
p(t) = a t^2 + b t + c,
com a,b,c\in\mathbb{R}. Esse é o polinômio genérico de grau <=2.

Passo 3

Calculamos a segunda derivada:
p''(t) = 2a.
Como exigimos p''(t)=0 para todo t, temos
2a = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = 0.
Portanto, em W só existem polinômios da forma
p(t) = b t + c.

Passo 4

O conjunto W é, então, o espaço dos polinômios de grau <=1. Uma base natural para esse espaço é
\{\,1,\;t\}.
Como essa base tem 2 elementos, concluímos que

Resposta

\dim(W)=2

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